Question

如图所示,ABC-A1B1C1为正三棱柱,底面边长为a,D/E分别是BB1,CC1的点,且EC=2BD=a 求证：平面ADE⊥ACC1A1.

Answer 1

方法很多。。。由于不能画图，只能提供简单的解题思路。。。。
取AC的中点为M，AE的中点为N。连接BM、MN、DN。很容易证明BM平行于DN。。。（BD=MN=1/2a）
由于BM垂直于面ACC1A1，所以DN垂直于面ACC1A1
又由于DN在面ADE上，所以两个面垂直

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参考以下做法:
做辅助线：设CE的中点为F，在ACA1C1面上过F做AC的平行线与AE相交于H，FH的延长线交AA1于G；
直三棱柱各棱互相平行故BD//FC，又有BD=FC，因此四边形BDFC是平行四边形；
因此BC//DF，又因为FG//CA，所以面GDF//面ABC；
△ABC为正三角形，因此△GDF也是正三角形；
在△ACE中，FH//AC且F是CE的中点，因此FH是△ACE中位线，因此H是AE的中点；
易证△BD与△DFE全等，因此AD=DE，△ADE是等腰三角形，DH是底边AE上的高，DH⊥AE；
四边形ACFG是平行四边形，又因为FH是△ACE中位线，因此FH=1/2AC=1/2FG，H是正△DFG底边FG上的中点，显然有DH⊥GF；
GF、AE在面ACC1A1上，因此DH⊥面ACC1A1；
又因为DH在面ADE上，因此面ADE⊥面ACC1A1。

Answer 2

你这是不是缺了条件啊? 条件明显不够。 我补充一下吧，点O或F应该是中点，或者BD∥OF(反正要可以证明到OF为△ACE的中位线）。然后可以先证明四边形OFBD 为矩形，然后可以得到BF⊥OF.又∵可以得到F为AC中点，该三菱柱为正三菱柱，∴△ABC为正三角形，∴BF⊥AC, 又AC∩OF=F, ∴BF⊥平面ACC1A1.
又BF∥OD, ∴OD⊥平面ACC1A1, 显然OD含于（符号打不了）平面ADE，∴平面ADE⊥ACC1A1（一个平面若过另一个平面的垂线，则两平面垂直）。

Answer 3

取AC的中点为F，过F做CC1的平行线，与AE的交点为O，连接OD
因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以CC1⊥ABC-A1B1C1，CC1⊥ABC，BB1⊥ABC
因为CC1⊥ABC，OF//CC1，所以OF⊥ABC，又因为EC=a=AC，EC=2OF=2a
因为EC=2BD=2OF，所以OF=DB，因为BB1⊥ABC，D在BB1上，所以DB⊥ABC
因为OF⊥ABC，DB⊥ABC，OF=DB，点B、F在同一平面内，所以OD=BF,且BF//DO
因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，F是AC的中点，所以BF⊥ACC1A1，因为BF//OD，所以DO⊥ACC1A1
因为DO在平面在平面ADE内，所以平面ADE⊥ACC1A1
出学校很久了，整了半天才整出来，希望有帮助！

Answer 4

取AC.AE的中点为FG，很容易证明FG//=1/2EC=1/2a BD//=1/2EC所以BD,FG平行且相等。VDGF为平行四变形。所以DG//BF。正三棱柱，所以面ACC1A1垂直面ABC 很容易证明Bf垂直面ACC1A1所以DG也垂直这个面。因为DG在面AED内，所以这两个面垂直。
有些简单的步骤我就省略了。