如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上. (1)如图1,如果AM=AN,求证:BM=CN; (2)如图2,如果M,N是
（1）如图1，如果AM=AN，求证：BM=CN；
（2）如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 展开
（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵AM=AN，∴∠AMN=∠ANM．
即得∠AMB=∠ANC．
在△ABM和△CAN中，
∠AMB=∠ANC,∠B=∠CAB=AC
∴△ABM≌△CAN（AAS）．
∴BM=CN．
另证：过点A作AD⊥BC，垂足为点D．
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．
同理，证得MD=ND．
∴BD-MD=CD-ND．
即得BM=CN．
（2）MN2=BM2+NC2成立．
证明：过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．
∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．
在△ABM和△ACE中，
AB=AC∠B=∠ACEBM=CE
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．
于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．
在△MAN和△EAN中，
AM=AE∠MAN=∠EANAN=AN
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN=EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN^2=EC^2+NC^2．
即得MN^2=BM^2+NC^2．
另证：由∠BAC=90°，AB=AC，可知，把△ABM绕点A逆时针旋转90°后，AB与AC重合，设点M的对应点是点E．
于是，由图形旋转的性质，得AM=AE，∠BAM=∠EAN．
以下证明同上．
∵AB=AC，AM=AN，
∴BD=CD，MD=ND，
∴BD-MD=CD-ND，
即BM=CN。
⑵将ΔABM绕A逆时针旋转90°到ΔACP，
则∠BAM=∠CAP，CP=BM，AM=AP，连接PN，
∵∠B=∠C=45°，∴∠PCN=90°，
∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°，
∴∠PAN=45°，
在ΔANM与ΔANP中，
∠NAM=∠NAP=45°，
AN=AN，AM=AP，
∴ΔANM≌ΔANP，
∴MN=PN，
在RTΔCPN中，PN^2=NC^2+PC^2，
∴MN^2=BM^2+NC^2。
1)
作高AD,
因为AB=AC
所以BD=CD
同理MD=DN
所以BD-MD=CD-DN
即BM=CN,
2)
将△ACN旋转到△ABD,得
所以△ACN≌≌△ABD
所以∠ABD=∠C=45°，BD=CN,AD=AN,∠CAN=∠BAD
因为∠MAN=45°
所以∠BAM+∠CAN=45°
所以∠BAM+BAD=45°
因为∠MAN=45°
所以∠MAD=∠MAN
所以△MAD≌△MAN
所以MN=DM
因为∠ABD+∠ABC=90
所以直角三角形BDM中，由勾股定理，得DM²=BD²+BM²
即MN²=BN²+CN²
（2）利用旋转的方法，将三角形anc转到边ab并与之重合，明显角mbn‘为直角，角n’am为45度。连接mn‘，由角边角可证三角形amn与amn'全等，所以mn=mn'，由勾股定理得解。
