Question

设函数f(x)在(a,b)内连续,a<x1<x2<b,证明在(x1,x2)内至少有一点c,使得f(x1)+f(fx2)=2f(c).

求解析
设函数f(x)在(a,b)内连续,a<x1<x2<b,证明在(x1,x2)内至少有一点c,使得f(x1)+f(x2)=2f(c).

Answer 1

因为 f(x) 在（a，b）内连续，因此 f(x) 在 [x1，x2] 同连续 ，
考察函数 g(x)=2f(x)-[f(x1)+f(x2)] ，
由于 g(x1)=f(x1)-f(x2) ，g(x2)=f(x2)-f(x1) ，
因此 g(x1)*g(x2)<=0 ，
由介值定理，存在 c∈(x1，x2) 使 g(c)=0 ，
即 f(x1)+f(x2)=2f(c) 。

追问

请问需要讨论f(x1)=f(x2)的情况么

追答

是的，需要讨论。

当 f(x1)=f(x2) 时，结论不成立了。除非把存在的区间改为 [x1，x2] 。

举例如下：函数 f(x)=x^2 在 （-2，2）内连续，且 f(-1)=f(1)=1 ，
那么在（-1，1）内不存在 c 使 f(-1)+f(1)=2f(c) 。
（因为 2f(c)=2c^2 ，而 f(-1)+f(1)=2 ，要使 2c^2=2 ，只有 c= -1 或 1，可这两个值都不在开区间 (-1，1) 内 。)

追问

那是题目有问题么

追答

这么看来，确实是你疏忽了那个区间。应该是闭区间才对。