Question

在菱形ABCD中,AB＝BD 点EF分别在AB AD上，且AE＝DF

求证S四边形BCDG＝√3/4 CG²

Answer 1

②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
则△CBM≌△CDN，（HL）
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．
S四边形CMGN=2S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=1/2 CG，CM=√3/2CG

∴S四边形CMGN=2S△CMG=2*1/2*1/2CG√3/2CG

＝√3/4 CG²

Answer 2

G是EF和AC的交点么？

追问

G是FB和ED交点

追答

方法1：
证明：∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
则△CBM≌△CDN，（HL）
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．
S四边形CMGN=2S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=1/2CG，CM=√32CG，
∴S四边形CMGN=2S△CMG=2×1/2 ×1/2 CG×√3/2 CG=√3/4CG².

方法2：
∵ABCD为菱形，∴AB=AD=CD=BC
∵AB=BD，∴AB=AD=BD，∴△ABD为等边三角形∴∠ADB=∠DAB=60°，
∵AE=DF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠ADE=∠DBF，
∵∠FGD=∠DBF+∠GDB，∠ADB=∠ADE+∠GDB=60°，∴∠FGD=60°，
∵∠DAB=60°，∴∠FGD=∠DAB，∵∠FDG=∠EDA，∴△FDG∽△EDA，
∴DG/AD=FG/AE，∵AE=DF，AD=CD，∴DG/CD=FG/DF
∵CD=BC=BD，∴△BCD为等边三角形，∴∠BDC=60°，∴∠BDC=∠DAB，
∵∠ADE=∠DBF，∠DBA=∠ADB，∠FBA=∠DBA-∠DBF，∠EDB=∠ADB-∠ADE
∴∠FBA=∠EDB，
∵∠GFD=∠DAB+∠FBA，∠GDC=∠EDB+∠BDC，∴∠GFD=∠GDC
∴△GFD∽△GDC（两边对应成比例，且它们的夹角相等）
∴∠FGD=∠DGC，∠ADE=∠DCG，∵∠FGD=60°，∴∠DGC=60°，∴∠DGC=∠DAB
∴△ADE∽△GCD，∴S△GCD/S△ADE=GC²/AD²（相似三角形面积比=边长比²）

∵∠FDG=∠DGC=60°，∴∠CGB=180°-∠DGC-∠FDG=60°，∵∠DBA=60°，∴∠CGB=∠DBA，
∵∠DEB=∠ADE+∠DAB，∠CBG=∠DBF+∠CBD，∠ADE=∠DBF，∠DBC=∠DAB
∴∠DEB=∠CBG，∴△BCG∽△EBD，∴S△EBD/S△BCG=CG²/BD²
∵S△ABD=S△ADE+S△EBD，四边形BCDG的面积=S△GCD+S△BCG
∴四边形BCDG的面积/S△ABD=CG²/AB²
∵S△ABD=1/2·AB·AB·sin60°=√3/4AB²
∴四边形BCDG的面积=√3/4CG²