Question

已知x>0,y>0.且2/x+1/y=1,若x+2y>m²+2m恒成立,则实数m的取值范围是

Answer 1

2/x+1/y=1
(2y+x)/(xy)=1
x+2y=xy
x>0 y>0，则2y>0
由均值不等式得当x=2y时，x+2y取得最小值，此时2/x=1/y=1/2，x=4，y=2
x+2y=4+4=8
x+2y>m²+2m，要不等式恒成立，则当x+2y取最小值时不等式仍成立。
m²+2m<8
m²+2m-8<0
(m+4)(m-2)<0
-4<m<2

Answer 2

解：
因为x>0,y>0所以
x+2y=（x+2y)(2/x+1/y)
=x/y+4y/x+4≥2√(x/y*4y/x)+4=8
所以（X+2y)的最小值为8
若x+2y>m^2+2m恒成立，则
m^2+2m<8即
m^2+2m-8<0,解得
-4<m<2