Question

哪里有第七届华罗庚金杯数学邀请赛决赛团体口试试题？

1999年的第七届华罗庚金杯数学邀请赛，决赛的团体口试试题。
华杯赛的网上要求付钱才能下，但是对只下一次的人来说凭什么给他充60元呢><

Answer 1

http://blog.luohuedu.net/uuauth//file/120/2007-3//第七届全3.doc

http://blog.luohuedu.net/blog/view.aspx?essayID=19332&BlogID=120（解答+题目）

第七届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
团体决赛口试试题及解答
开场共答题
1� ,
上面算式中，华、罗、庚、金、杯、数、学、竞、赛九个字，代表数字1，2，3，4，5，6，7，8，9(不同的文字代表不同的数字).已知：竞＝8，赛＝6.请把这个等式恢复出来.
答： .
理由： 是一个真分数，则由 可知：
,
所以，
，……（1）
所以金杯＝13或14.
数码1被“金”字用了，因此
“华”≥2， 并且 ，
可以推出 ，所以又有：
……(2)
由（1）和（2）金杯=13. 这时候应当有：
.

(注意：13×15＝195＜200，13×16＝208，13×17＝221，13×18＝234均不合要求，只能取13×19＝247)
所以恢复的等式为 .
必答题（2－5题）
2�将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数排成一行，使得第二个数整除第一个数，第三个数整除前两个数的和，第四个数整除前三个数的和，……，第九个数整除前八个数的和.如果第一个数是6，第四个数是2，第五个数是1.问排在最后的数是几?
答：5.
理由：

由第一个数是6，第五个数是1，而第四个数是2，所以第二个数只能取3;

第三个数是前2两个数的和9的约数，9的约数是1，3，9，第五个数是1，第二个数是2，所以第三个数只能填9;

前5个数的和是21，约数是1，3，7，所以第六个数是7；前六个数的和是28，其约数是1，2，4，7，14，28，1、2和7已经被用了，第七个数是4；类似讨论，6，3，9，2，1，7，4，8，5是所排的这九个数.
3�用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，如图恰拼成一个直角三角形(图7-14)。问：红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少?试说明理由.
答：710.5.
理由：如图(7-14a)，以D为中心，逆时针旋转三角形BDE，使DE和DF重合，BE 和FG重合，三角形BDE和三角形DFG重合。
由于∠EDF＝90°，所以∠1+∠2＝90，所以∠ADG是直角，三角形ADG是直角三角形，它的面积恰等于红、蓝两个直角三角形面积的和(图7-14a).因此，红、蓝两张三角形纸片面积之和等于直角三角形ADG的面积，等于
＝710.5.
4�五个比0大的数它们两两的乘积是1，80，35，1.4，50，56，1.6，2，40，70这十个值，问这五个数中最大数是最小数的多少倍?
答：50倍.
理由：将所给五个大于0的数两两相乘所得的十个数依小到大的顺序排列如下：
1，1.4，1.6，2，35，40，50，56，70，80,
由于这十个数两两不等，所以所给的五个数一定彼此两两不等，不妨设为
,
易知
,

所以 是两两乘积中最小的两个数， 是两两乘积中最大的两个数.
易知 ＝1.4， ＝70
所以

即这五个数中的最大数是最小数的50倍.
5�两千个数写成一行，它们中任三个相邻数的和都相等.这两千个数的和是53324.如果擦去从左数第1个，第1949个，第1975个以及最后一个数，剩下的数之和是53236.问剩下的数中从左数第50个数是多少?
答：36.
理由：设这一列数为 .由题意知

由此得出
(n＝1，2，3，…，1997)
即
; ;
(k＝1，2，…，666)
于是

设相邻三个数的和为S，则 这1998个数的和为666S.于是
666S+ ＝53324， 666S- ＝53236,
相加得1332S＝106560,�S＝80;
相减得2 ＝88,� ＝44.
剩下数中从左数第50个数是原来这一列数从左数第51个数，应等于 ，
＝80- ＝80-44＝36.
共答题（6－7题）
6�给出实物：四个大小相同的正方体木块.请你用一把米尺设法量出正方体的对角线的长(以毫米为单位).
这是一道智力型操作问题：
木块是实心的，直接量对角线长有困难，可设法将实心变为空心就可测量了.将三个木块叠成如图7-15所示，右上角恰空出一个正方体木块的位置，量线段AB或CD的长，就是正方体对角线的长.
7�图7-16下面给出若干张由相同的八个正三角形组成的纸片，请你找出所有的能沿虚线折叠拼成八面体的纸片，并动手将八面体拼粘出来.

这是一道智力型操作问题.
要拼成的八面体的每个顶点都出发4条棱，若切开一条棱展开后，这一顶点展开后有5条棱，其中用虚线表示的棱至多有3条，所以展开图中一个顶点聚集虚线棱大于3条的都不能沿虚线折叠拼粘成图中所示的八面体.
所以排除上行第1，第3，第4三张纸片，排除下行第1，第3，第4这三张纸片，只有上行第2、下行第2两张纸片有可能拼粘成图中所示的八面体.经过具体操作，这两张纸片都可以拼粘成图7-16a中所示的八面体.
(群众答题)
8�中国邮政贺年(有奖)明信片，每一百万张为一组，每一张售价1元，每组设置6个 中奖等级，分配如下：
一等奖 1名 奖长虹电视机一台 价值4680元
二等奖 10名 奖长虹三碟VCD机一台 价值1300元
三等奖 100名 奖邮政活期储蓄折一个 500元
四等奖 1000名 奖1998全年邮票一册 160元
五等奖 10000名 奖1999生肖邮票四方连邮折一个 10元
纪念奖 100000名 奖精美钥题链一个或纪念奖章一枚 1元
(以上奖金、奖品均为税后所得).如果一组明信片全部售出，问：邮局发行这组有奖明信片的返还率至多是多少?
答：35%.
理由：奖品价值
4680+1300×10+500×100+160×1000+10×10000+1×100000＝427680
所以 返还率＝4276801000000＝42.768%(=42.77%)
必答题（9－12题）
9�圆柱形的售报亭的高与底面直径相等.如图7-17，开有一个边长等于底面半径的正方形售报窗口.问：窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱侧面面积的几分之几?
答： .
理由：设底面圆的半径为R.由图7-17a可见，三角形OAB是等边三角形，∠AOB＝60°， AB为圆的 ，所以圆柱面ABCD部分为整个圆柱面的 .而窗口高为R是圆柱高2R的一半，所以窗口部分挖去的圆柱面部分的面积是圆柱侧面面积的 .
事实上也可以直接计算:
窗口柱面挖去面积: ;
圆柱侧面面积:
所以
.
10�能将1，2，3，4，5，6，7，8，9填在3×3的方格表中(图7-18)，使得横向与竖向任意相邻两数之和都是质数吗?如果能，请给出一种填法：如果不能，请你说明理由.
答：不能.
理由：奇数1，3，5，7，9中任两个之和都是大于2的偶数，因而是合数，所以在填入3×3的表格时它们中任两个横向、竖向都不能相邻.如果满足题设条件的3×3表格的填法存在，那么奇数1，3，5，7，9只能填在表的四角和中心，而偶数2，4，6，8填在★处，于是中间所填的奇数要与2，4，6，8横向或竖向相邻，即中间所填的奇数与2，4，6，8之和都要是质数.
然而，这是不可能的.原因是
1+8＝9是合数，
3+6＝9是合数，
5+4＝9是合数，
7+2＝9是合数，
9+6＝15是合数.，
所以在3×3表格中满足题设要求的填法是不存在的.
11�六张大小不同的正方形纸片拼成如图7-19所示的图形.已知最小的正方形面积是1，问：图中红色正方形的面积是多少?
答：16.
理由：由于中间小正方形面积是1，所以边长是1.设正方形①的边长是a，由图7-19a中可见，正方形②的边长是a+1，正方形③的边长是a+2，正方形④的边长是a+3，所以CD＝a+(a+1)＝2a+1，AB＝(a+2)+(a+3)＝2a+5.由此得到，红色正方形的边长等于
(2a+5)-(2a+1)＝4
所以，红色正方形面积等于16.
12�在一个边长不超过8厘米的大正方形中，如图7-20所示放入三张面积均为20平方厘米的正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是44平方厘米.问：大正方形的面积是多少平方厘米?
答：51.2平方厘米.
理由：将红色正方形平移使左边与大正方形左边重合.三个正方形覆盖的总面积不变.这时，大正方形被分成四个部分，蓝色正方形面积为20平方厘米，红、黄两块显露的矩形面积相等，其面积和是44-20＝24平方厘米，所以
红黄两矩形面积均为12平方厘米.设右上角未被盖住部分的面积为x平方厘米 (图7-20a)，则
, .
因此，大正方形面积为 44+7.2＝51.2平方厘米.
抢答题（13－16题）
13�在十个容器中分别装有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10毫升的水.每次操作可由盛水多的甲容器向盛水少的乙容器注水，注水量恰好等于乙容器原有的水量.问：能否在若干次操作后，使得5个容器都装有3毫升的水，而其余容器分别装有6，7，8，9，10毫升的水?如果能，请说明操作程序；如果不能，请说明理由.
答：不能.
理由：甲容器水量为a，乙容器水量为b，转注前后两容器水量和相等.所以
转注前 转注后,
甲容器 乙容器 甲容器 乙容器

奇 奇 偶 偶
奇 偶 奇 偶
偶 偶 偶 偶
偶 奇 奇 偶
从以上可见，每次操作后，水量为奇数的容器数目不增.
由于初始状态有五个杯中水量是奇数毫升，因此无论多少次操作，水量为奇数毫升的容器数总不能比5多.所以5个容器有3毫升水，其余容器分别装有6，7，8，9，10毫升水(总计有7个容器水量为奇数毫升)的状态不可能出现.
14�P为长方形ABCD内一点(图7-21).三角形PAB的面积等于5，三角形PBC的面积等于13.问：三角形PBD的面积是多少?
答：8.
理由：如图7-21a,
①+③＝②+④
所以
③-④＝②-①
=13-5＝8.
因此(③-④)+(②-①)＝8+8＝16，但
(③-④)+(②-①)＝(③+②)-(①+④)
＝(12矩形ABCD+△PBD)的面积
-(12矩形ABCD-△PBD)的面积
＝2△PBD的面积
所以2△PBD面积＝16,△PBD面积＝8.
15�由四个不同的非0数字组成的所有四位数中，数字和等于12的共有多少个?
答：数字之和等于12的共有48个.
理由：所求四位数的数字中，最小的数字必为1.否则，若最小数字不为1，则最小的数字和将是2+3+4+5＝14＞12，与题意不符.
同理，次小的数字必须是2.否则，次小数字不为2，则四位数的数字和将是
1+3+4+5＝13＞12，与题意不符.因此，四个非零的不同数字和为12的情况有如下两种：
｛1，2，4，5｝和｛1，2，3，6｝.
由于每一组可以排出24个合乎要求的四位数，所以总共可以排出2×24＝48个这样的四位数.
16�在三角形网格的圆圈中，填有迎、接、澳、门、回、归的字样，如图7-22所示.问：可以有多少种不同的方法连成“迎接澳门回归”这句话?
答：32种.
理由：采用由最上一层逐次向下填数字的方法，从“迎”字开始记为1，到下面两个“接”字，各有一条路，两个“接”字都分别填1，到第三层三个“澳”字，两边的只有一种方法分别填“1”，到中间“澳”字可从上面两个“接”字到达，因此填2(1+1＝2).以下按这个规则填写，到第六层的六个归字，填出的数
1，5，10，10，5，1
分别表示连成“迎接澳门回归”路线的方法数(图7-22a).所以可以有1+5+10+10+5+1＝32种方法连成“迎接澳门回归”这句话.
群众答题
17�这是一个美丽的传说:
“勤劳、勇敢、善良、团结、智慧的“五羊”降临南国，赶走了灾荒，驱散了恶魔，人间充满欢乐与祥和”.
“五羊”组成一个数码彼此不同的五位数，能被16整除. 商数的个位、百位、千位都比十位大1.借问能算者，五位数是什么(图7-23)?

答：53168.
理由：这个五位数除以16的商只可能是如下九个四位数:
1101，2212，3323，4434，5545，6656，7767，8878，9989
但6656×16＝106496已是六位数，所以商只能从1101～5545中找,而
1101×16＝17616， 2212×16＝35392,
3323×16＝53168，4434×16＝70944，5545×16=88720.
只有53168合乎要求.