Question

求微分方程y''=2yy'满足条件y(0)=1,y'(0)=1的解

Answer 1

y''=2yy'=(y^2)'
所以积分得到
y'=y^2+c1
就是
y'/(y^2+c1)=1
也就是
(√c1y')/(1+(y/√c1)^2)=√c1
就是
[arctan(y/√c1)]'=√c1
积分
arctan(y/√c1)=√c1*x+c2
y/√c1=tan(√c1*x+c2)
y=√c1tan(√c1*x+c2)
y(0)=1,y'(0)=1代入
c1，c2无解，是否条件有错误

其他两人的回答，验证一下就发现有错误的。

追问

是，y‘（0）=2

追答

y(0)=1,y'(0)=2代入

c1=1 c2=π/4
y=tan(x+π/4)

Answer 2

y''=2yy'=(y')^2

令y'=p
y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=dp/dy*p
代入得
dp/dy*p=p^2

分离变量得
dp/p=dy
两边积分得
lnp=y+C
p=e^(y+C)
y'=e^(y+C)
y(0)=1,y'(0)=1代入得

1=e^(1+C)
C=-1
y'=e^(y-1)

分离变量得
dy/e^y=dx/e
两边积分得
-e^(-y)=x/e+C2
y(0)=1,y'(0)=1代入得

c2=-1/e
-e^(-y)=x/e-1/e

Answer 3

特征方程r^2-2r=0,r1=0,r2=2,
则原方程的通解为y=c1+c2*e^(2x)
y(0)=1=c1+c2,y'(0)=1=2*c2,解得c2=1/2,c1=-1/2
则原方程的通解为y=-1/2+1/2*e^(2x)