Question

设向量组a1a2a3线性相关,a2a3a4线性无关,证明向量a1必可表示为a2,a3,a4的线性组合

Answer 1

证明：

∵a1,a2,a3 线性相关
∴存在不全为0的数b1,b2,b3使
b1a1+b2a2+b3a3=0
又a2,a3,a4 线性无关
∴a2,a3线性无关
∴若b1=0, 则b2a2+b3a3=0
∴b2=b3=0
与b1,b2,b3不全为0矛盾
∴b1≠0
∴a1+(b2/b1)a2+(b3/b1)a3=0
即 a1=-(b2/b1)a2-(b3/b1)a3
∴a1可表示为a2,a3,a4的线性组合

证毕

Answer 2

证明：若k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0.
假设k1=0，那么k2a2+k3a3+k4a4=0.
∵a2a3a4线性无关
∴k2=k3=k4=0
则a1 a2 a3 a4线性无关。
假设k4=0则k1a1+k2a2+k3a3=0
∵a1a2a3线性相关
∴存在非全是零的一组k1 k2 k3
∴a1 a2 a3 a4一定线性相关。
∴k1≠0
故向量a1必可表示为a2,a3,a4的线性组合

Answer 3

a1a2a3线性相关。所以a1a2a3a4也线性相关。【定理五第一条】所以a1必可表示为a2,a3,a4的线性组合

Answer 4

因为α2,α3,α4线性无关
所以 α2,α3 线性无关
又因为 α1,α2,α3 线性相关
所以 α1可表示为α2,α3的线性组合
所以 α1可表示为α2,α3,α4的线性组合

Answer 5

题目中已经说了向量组a2,a3，a4线性无关，那么可得a2，a3线性无关，而a1，a2，a3又线性相关，那么显然a1可由a2，a3表示，这个要证吗，书上定理很明白的说了。