Question

(1+1/n)^n的极限怎样求？

《师大附中专题》（湖南师大出版社）中有一个结论：
lim(1+1/n)^n=e,（n-∞)e为常数对数In的底数，e=2.71828……
n-∞
但不知怎样得出的？其他书上有结论lim〔C*f（x〕^n)=C*（limf(x)）^n（C为常数）
那么lim(1+1/n)^n=（lim1+1/n）^n=1^n =1,但 e从何而来？
n-∞ n-∞

Answer 1

设f(n)=(1+1/n)^n

两边取自然对数ln[(1+1/n)^n]=n*ln(1+1/n)

对n*ln(1+1/n)用罗比达法则

得lim(n*ln(1+1/n))=1 (n-∞)

所以lim(1+1/n)^n=e，（n-∞)

扩展资料

求极限基本方法有

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

Answer 2

lim〔C*f（x〕^n)=C*（limf(x)）^n当中是对x求极限n是个定量当然可以
你这里lim(1+1/n)^n是对n求极限 指数跟n有关不是常量就不能这样用啦
设an=(1+1/n)^n是用基本不等式证明出来是有界的首先 又是单调曾加的
所以an有极限
所以e是这个数列极限得定义值
设f(n)=(1+1/n)^n
两边取自然对数 ln[(1+1/n)^n]=n*ln(1+1/n)
对n*ln(1+1/n)用罗比达法则
得lim(n*ln(1+1/n))=1 (n-∞)
所以lim(1+1/n)^n=e,（n-∞)lim〔C*f（x〕^n)=C*（limf(x)）^n当中是对x求极限n是个定量当然可以
你这里lim(1+1/n)^n是对n求极限 指数跟n有关不是常量就不能这样用啦
设an=(1+1/n)^n是用基本不等式证明出来是有界的首先 又是单调曾加的
所以an有极限
所以e是这个数列极限得定义值
既然是定义怎么叫从何而来呀？？
设f(n)=(1+1/n)^n
两边取自然对数 ln[(1+1/n)^n]=n*ln(1+1/n)
对n*ln(1+1/n)用罗比达法则
得lim(n*ln(1+1/n))=1 (n-∞)
所以lim(1+1/n)^n=e,（n-∞)

Answer 3

lim〔C*f（x〕^n)=C*（limf(x)）^n当中是对x求极限n是个定量当然可以
你这里lim(1+1/n)^n是对n求极限 指数跟n有关不是常量就不能这样用啦
设an=(1+1/n)^n是用基本不等式证明出来是有界的首先 又是单调曾加的
所以an有极限
所以e是这个数列极限得定义值
既然是定义怎么叫从何而来呀？？

Answer 4

lim〔C*f（x〕^n)=C*（limf(x)）^n当中是对x求极限n是个定量当然可以
你这里lim(1+1/n)^n是对n求极限 指数跟n有关不是常量就不能这样用啦
设an=(1+1/n)^n是用基本不等式证明出来是有界的首先 又是单调曾加的
所以an有极限
所以e是这个数列极限得定义值
既然是定义怎么叫从何而来呀？？
设f(n)=(1+1/n)^n
两边取自然对数 ln[(1+1/n)^n]=n*ln(1+1/n)
对n*ln(1+1/n)用罗比达法则
得lim(n*ln(1+1/n))=1 (n-∞)
所以lim(1+1/n)^n=e,（n-∞)

Answer 5

设f(n)=(1+1/n)^n
两边取自然对数 ln[(1+1/n)^n]=n*ln(1+1/n)
对n*ln(1+1/n)用罗比达法则
得lim(n*ln(1+1/n))=1 (n-∞)
所以lim(1+1/n)^n=e,（n-∞)