Question

如图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD,已知AD=4,BC=6,求此梯形的面积

如图,在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD,已知AD=4,BC=6,求此梯形的面积

Answer 1

∵AC、BD是等腰梯形ABCD的对角线，∴AC=BD。
过D作DE∥AC，交BC的延长线于E，则∵DE∥AC，AD‖CE，∴四边形ACED是平行四边形。
∴DE=AC，且CE=AD=4，故BE=10。又∵AC⊥BD，∴DE⊥BD。即ΔDBE是等腰直角三角形。
过D作ΔDBE的BE边上的高DF，易得DF=½BE=5。
∴所求梯形的面积为 S=½ (4+6)×5=25。

Answer 2

25
过程：因为在等腰梯形ABCD中
所以OA=OD，OC=OB
因为AC⊥BD
所以得直角三角形AOD和COB
在直角三角形AOD中，AD=4
OA^2+OD^2=AD^2=4^2
所以OA=OD=2根号2
同理可得：OB=OC=3根号2
因为S梯形=S三角形ABD+S三角形CBD
S三角形ABD=1/2*BD*OA=1/2*(OB+OD)*OA=1/2*5根号2*2根号2=10
S三角形CBD=1/2*BD*OC=1/2*5根号2*3根号2=15
所以S梯形=10+15=25

Answer 3

解：过O点做垂线垂直于AD、BC, 交AD、BC于E、F.
∵ ABCD的等腰梯形，AB=DC, ∠ABC=∠BCD
∴ △ABC≌△DCB
则 ∠BAC=∠BDC
又∵ ∠A=∠D ∴ ∠OAD=∠ODA
因为 AC⊥BD ∴ ∠AOD=90°
∴ ∠OAD=∠ODA=45°
同理 ∠OBC=∠OCB=45°
则 OE垂直平分AD, OF垂直平分BC
OE=AD/2 OF=BC/2
EF=(AD+BC)/2=5
梯形ABCD的面积=（AD+BC)EF/2=25

Answer 4

解：
∵梯形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD
∴梯形的高=（上底+下底）÷2=（4+6）÷2=5
【△AOB≌△DOC，AO=DO，BO=CO】
∴梯形面积=½（4+6）×5=25

Answer 5

等腰梯形ABCD,AC=BD,AO=DO,BO=CO,
AC⊥BD,△AOD和△BOC为直角等腰三角形，过O作AD，BC的垂直交AD于E，交BC于F，
EF即为等腰梯形ABCD的高，OE＝1／2AD＝1／2＊4＝2，
OF＝1／2BC＝1／2＊6＝3，EF＝OE＋OF＝5
S等腰梯形ABCD＝1／2（4＋6）＊5＝25