Question

在矩形ABCD中，AB=10，BC=12.5，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转后得到矩形A1B1C1D,若点A落在B1C1上（如图甲）

（1）试求AC1的长度；（2）将图甲中的矩形的矩形A1B1C1D沿AD方向平移后得到矩形A1B1C1D1，设AD1、B1C1交于点P（如图乙） ①过点C1作EF∥AB，交AD于点E，F，求C1E和C1F的长度； ②连接BP，BC1，设AP=x，试探索：当x取何值时，△BC1P为直角三角形。（结果精确到0.01）

Answer 1

⑴在RTΔADC1中，AC1=√(AD^2-CD^2)=7.5；
⑵①由ΔD1C1P≌ΔDC1A知：PC1=AC1=7.5，
SΔD1C1P=1/2×7.5×10=37.5，
又SΔD11P=1/2×12.5×C1E，∴C1E=6，
∴C1F=10-6=4；
②D1E=√(D1C1^2-C1E^2)=6
D1P=12.5，∴PE=12.5-6=6.5
∴AE=BF=X+6.5，
∴BC1^2=BF^2+C1F^2=58.25，
又BP^2=AB^2+AP^2=100+X^2
ⅰ)当∠BPC1=90°时，
BC1^2=BP^2+PC1^2，即58.25=100+X^2+56.25，X^2=-98，无解。
ⅱ)当∠BC1P=90°时，
58.25+56.25=100+X^2，X=√14.5≈3.81。
∴当X=3.81时，ΔBC1P是直角三角形。