Question

请问，为何在求∫dx/√(x^2-a^2)的不定积分时，

高数书上，是这么写的：
当x<-a时，令x=-u，有 ∫dx/√(x^2-a^2)= -∫dx/√(u^2-a^2)= -ln[u+√(u^2-a^2)]+C1= -ln[-x+√(x^2-a^2)]+C1
请问为什么，-∫dx/√(u^2-a^2)会得出-ln[u+√(u^2-a^2)]+C1？
如果想我要反求-ln[u+√(u^2-a^2)]+C1的微分，该怎样下手？
PS：自己求了下，但没成功得出 -dx/√(u^2-a^2)来~
还有，因为我要学数学专业，现在是在自己首先预习高等数学，然后在看数分。但是像这种求积分(就那这道题来说)，会一般就想出来-∫dx/√(u^2-a^2)的不定积分就是-ln[u+√(u^2-a^2)]+C1吗？或者应该说题做的多了，自然而然就熟了？
望知道的各位前辈讲解指导下，非常感谢……

Answer 1

1、 ∫dx/√(x^2-a^2)= -∫dx/√(u^2-a^2)，这儿你写错了应该是 ∫dx/√(x^2-a^2)= -∫du/√(u^2-a^2)，其实这题我觉得有更好的方式，令x=asecu,原式=∫dx/√(x^2-a^2)=∫asecu*tanudu/√(a^2secu^2-a^2)=∫secudu=∫1/cosudu=∫dsinu/(1-sinu^2)=1/2[∫(1/(1+sinu)+1/(1-sinu)dsinu]=1/2ln|(1+sinu)/(1-sinu)|+c，然后再利用x=asecu，还原回来，
2、反求-ln[u+√(u^2-a^2)]+C1的微分，直接对这式子求导，加上一个du，微分即-dx/√(u^2-a^2)
3、这种题型换元法是很好的解决方式，遇到了x^2+a^2，x^2-a^2这类型都用三角换元，前面的是令x=atanx，后面的是令x=asecu，积完分后，再还原回来
希望能帮助你

追问

谢谢，但我有点糊涂，在∫1/cosudu=∫dsinu/(1-sinu^2)中，开始还保持着du，但怎么后来会换到dsinu了呢？另外，似乎前辈也犯了一个和我差不多的错误，哈哈 是-dx/√(u^2-a^2)这儿~

追答

额。。。∫1/cosudu=∫cosu/cosu^2du=∫cosu/(1-sinu^2)du=∫dsinu/(1-sinu^2)，我只不过是省略了其中的步骤，对于这个 我建议你还是看看不定积分的凑积分、还有换元法，好生研究一下，另外，如果你觉得我这儿有错 你可以求导试试看看是不是错的，希望能帮助你

Answer 2

我的个脑子啊！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！