Question

急啊：已知函数f(x)=sin^4x+2√3sinxcosx-cos^4x

已知函数f(x)=sin^4x+2√3sinxcosx-cos^4x.（1）求函数f（x）的振幅和周期
（2）函数f（x）的性质
（3）说明已知函数图象可由y=sinx的图像经过怎样变换得到
（4）函数y=f（x）-m在[0，π/2]上的图像始终在直线y=2的下方，求实数m的取值范围.
（5）对于任意x∈[0，π/2]，都有|f（x）-m|<=2,求实数m的取值范围
（6）方程f（x）=m在[0，π/2]上有两解，求实数m的取值范围
在线求解答 谢谢各位大虾！！！ 实在是急 （过程好的可另外加分！）

Answer 1

f(x) = sin⁴x+2√3sinxcosx-cos⁴x 

= (sin²x + cos²x)(sin²x - cos²x) + 2√3sinxcosx

= sinx² - cos²x + 2√3sinxcosx

= -cos(2x) + √3sin(2x)

= 2[(√3/2)sin(2x) - (1/2)cos(2x)]

= 2[sin(2x)cos(π/6) - cos(2x)sin(π/6)]

= 2sin(2x - π/6)

(1)振幅2, 周期: 2π/2 = π

(2)正弦函数

(3)先将y = sinx的横坐标压缩一半(即2 -> 1, 6-> 3等),纵坐标不变，得到的图象是y = sin(2x)

然后将其向右平移π/12, 得到 y = sin(2x - π/6)的图象

最后将每点的纵坐标加倍，得到y = 2sin(2x - π/6)的图象

(4)2x - π/6 = π/2, x = π/3, 此时 f(x)在[0，π/2]上的最大值为2 , 所以m >0

(5)f(x)在[0，π/2]上的最大值为2, 最小值为f(0) = 2sin(-π/6) = -1

|f（x）-m| ≤ 2

-2 ≤ f(x) - m ≤ 2

m - 2 ≤ f(x) ≤ m + 2

f(0) = -1用于m - 2 ≤ f(x): m - 2 ≤ -1, m ≤ 1

f(π/3) = 2用于  f(x) ≤  m+ 2: 2 ≤ m  + 2, m ≥ 0

0  ≤ m ≤ 1

(6) 见图，1 ≤ m < 2