Question

已知x1,X2是二元一次方程（a-6)x²+2ax+a=0的两个实数根。

①是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值。若不存在，求你说明理由。②求使（x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值。

Answer 1

方程（a-6)x²+2ax+a=0有两个实数根，则判别式=4a^2-4a(a-6)=24a>=0, 得：a>=0
为二次方程还有a-6≠0, 即a≠6
1)x1+x2=-2a/(a-6), x1x2=a/(a-6)
由-x1+x1x2=4+x2，得：x1x2=4+x1+x2
代入得：a/(a-6)=4-2a/(a-6)
a=4a-24-2a
a=24
故当a=24时，有-x1+x1x2=4+x2成立

2）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=-2a/(a-6)+a/(a-6)+1=6/(6-a)
要使上式为负整数，则有6-a<0, 且6-a为6的因数
故有6-a=-1, -2, -3, -6
此时a=7, 8, 9, 12

Answer 2

方程（a-6)x²+2ax+a=0有两个实数根，则判别式=4a^2-4a(a-6)=24a>=0, 得：a>=0
为二次方程还有a-6≠0, 即a≠6
1)x1+x2=-2a/(a-6), x1x2=a/(a-6)
由-x1+x1x2=4+x2，得：x1x2=4+x1+x2
代入得：a/(a-6)=4-2a/(a-6)
a=4a-24-2a
a=24
故当a=24时，有-x1+x1x2=4+x2成立

2）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=-2a/(a-6)+a/(a-6)+1=6/(6-a)
要使上式为负整数，则有6-a<0, 且6-a为6的因数
故有6-a=-1, -2, -3, -6
此时a=7, 8, 9, 12