Question

圆锥曲线求轨迹的一道题，计算问题

过d点（-2，0）的直线l与椭圆x^2/2 +y^2=1交于不同两点a b 向量op=向量oa+向量ob 求p的轨迹方程。 用参数法做的，x1+x2求出来了，求y1+y2时出现问题 答案上是y1+y2=k（x1+x2+4） 但我算的明明是y1+y2=k（x1+x2+2）啊没法做了

Answer 1

过D点(-2，0)的直线L与椭圆x²/2 +y²=1交于不同两点A、B，向量OP=向量OA+向量OB ，求P的轨迹方程。

解：设L的方程为y=k(x+2)，代入椭圆方程得：x²+2[k(x+2)]²-2=0；
展开得 (1+2k²)x²+8k²x+8k²-2=0
设A(x₁，y₁)；B(x₂，y₂)；
于是有x₁+x₂=-8k²/(1+2k²)；y₁+y₂=k(x₁+2)+k(x₂+2)=k(x₁+x₂)+4k=-8k³/(1+2k²)+4k=4k/(1+2k²)
设P点的坐标为(x，y)，则OP=(x，y)=OA+OB=(x₁+x₂，y₁+y₂)，
故得x=x₁+x₂=-8k²/(1+2k²)..........(1)；y=y₁+y₂=4k/(1+2k²)...........(2)
(1)÷(2)得 x/y=-2k，即有k=-x/(2y)，代入(2)式得 y=-(2x/y)/[1+(x²/2y²)]=-4xy/(x²+2y²)
化简即得点P的轨迹方程为：(x+2)²+2y²-4=0，或写成 (x+2)²/4+y²/2=1，这是一个对称中心
在(-2，0)，长轴与x轴重合，短轴平行于y轴，长半轴a=2，短半轴b=√2的椭圆。
【从作图看，应该是个不完整的椭园，x≧-2】