Question

数学归纳法习题

设集合A的元素是正整数，满足如下条件：
1.A的元素个数不小于3
2.若a∈A，则a的所有因素属于A
3.若a∈A，b∈A，1＜a＜b，则1+ab∈A
求证：A集合是正整数集。
（已证出1,2,3,4,5∈A）

Answer 1

数学归纳法
（1）较小的数1,2,3见LI小宇8888的证明
（2）假设小于等于k的所有正整数均属于A，下面证明k+1也属于A即可
若k为合数，则存在1<a<b<k,使得 k=ab, 由性质3知k+1=1+ab∈A
若k为偶素数，即k=2 已知3∈A
若k为奇素数，k+1为偶数，则归纳假设知2∈A,(k+1)/2∈A,则k+2=1+2[(k+1)/2]∈A
又有 k(k+2)+1=(k+1)²∈A
再由性质知 k+1为(k+1)²的因子也属于
由上所述，知任意正整数均属于A

所以A集合是正整数集

Answer 2

任何数都有因数1。如果集合中没有2，则它没有偶数作元素，必存在1<a<b,1+ab为偶数，矛盾。
下先证4。我们有第三个数c，则2c+1,4c+3为奇数属于A，则(2c+1)(4c+3)+1=d属于A，且d为偶数，d>2。同理可知(2d+1)(4d+3)+1=8d^2+10d+4属于A且为4的倍数，所以4属于A。
1+2*4=9，所以3，9属于A。
1+2*3=7,1+2*7=15所以5，7属于A
2005=1+4*501;501=1+5*100;100=1+9*11;11=1+2*5所以2005属于A

追问

仔细看，不是这个问题。。。