Question

数学归纳法例题

在平面上有n个圆，任两个园都相交于两个焦点，任三个园不交于同一点，记这n个园把平面分成的区域个数为f(n)，计算f(1),f(2),f(3),f(4)，猜想f(n)的表 达式，并用数学归纳法证明它。

Answer 1

解：（1）题目说明任意两个圆都在两个交点，任意三个圆都不交于相同一点。
f(1)=2,
f(2)=4，
f(3)=8,
f(4)=14,
（2）猜想f(n)=n*(n-1)+2
证明：1，n=1时，f(n)=2,猜想成立
2，假设n=k时，f（k）=k*(k-1)+2成立
那么f(k+1)现在证明也成立。
当第K+1个圆与原来的K个圆都相割，增加的区域是多少呢，这个是本题的关键。当第K+1个圆与K个圆相割时，就会多出2(k-1)的区域还有一个K+1的公共区域以及所有圆外面的区域也会被分割，公共区域每次都会被分割，外面的区域每次也会被分割。意思就是多出的区域应该就是2(k-1)+2=2k，这个比较难理解。
所以f(k+1)= f(k)+2k
=K*(k-1)+2+2k
=k*k+k+2
=k(k+1)+2
=(k+1)(K+1-1)+2
f(k+1)证明也成立。
也就是说，当n属于自然数时，f(n)=n(n-1)+2都成立。

Answer 2

送分好吗~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~