Question

数学归纳法题

设P1,P2,P3...Pn,...是曲线y=x^1/2上的点列,Q1,Q2，...Qn,...是x轴正半轴上的点列，且三角形OQ1P1，三角形OQ2P2，...,三角形Qn-1QnPn，...都是正三角形，设他们的边长为a1，a2，...,an,...
求证a1+a2+...+an=n(n+1)/3
O点是原点

Answer 1

从Qn-1QnPn来看，第二个三角形应该是Q1Q2P2吧。

这样先对于OQ1P1，直线y=(3^0.5)x 与 x=y^2相交 易求得y1=(3^0.5)/3，x1=1/3，于是边长a1是2/3=1×（1+1）/3,对n=1满足

假设对n=k满足等式，即有归纳假设a1+a2+...+ak=k(k+1)/3

则当n=k+1时，点Q[k]的横坐标x[k]=a1+a2+...+ak=k(k+1)/3
然后过点(x[k],0)作直线y=(3^0.5)(x - k(k+1)/3)，求出与曲线交点纵坐标y[Pk+1],乘以2/3^0.5可得a[k+1].然后算出a[k+1]+k(k+1)/3=(k+1)(k+2)/2成立

综上，对一切自然数n，原式都成立。

Answer 2

O点不会是原点吧？如果O是原点就构不成正三角形。