Question

数学题（2012•肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、A

2012•肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）AB•CE=2DP•AD．原题地址有图：http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/53538b48-32c9-43ff-8a52-309dc2e92b8e

Answer 1

⑴由AB为直径的⊙O得∠ADB＝90°即AD⊥BC，又AB＝AC∴AD平分BC;
⑵∠CBE＝∠CAD,∠C＝∠C∴⊿CBE∽⊿CAD
⑶∠AEB＝∠ADB＝90°＝∠BEC,∠CBE＝∠PBD∴⊿BDP∽⊿BEC从而BD/BE＝DP/EC；
由⊿CAD∽⊿CBE得CA/CB＝AD/BE即AB/AD＝CB/BE＝2BD/BE＝2DP/EC
也即AB/AD＝2DP/EC∴AB•CE=2DP•AD

Answer 2

证明:(1)∵AB是直径   

∴∠ADB= 90°即AD⊥BC   (1分)         

又∵AB=AC     

∴D是BC的中点           (3分)

(2)在△BEC与 △ADC中         

  ∵∠C=∠C ,∠CAD=∠CBE   [因为同弧DE]          5分       

   ∴△BEC ∽△ADC                       6分 