Question

已知过定点（点在圆内）直线与圆相交,求最短弦，最短弦是什么？？为什么是它最短？？

已知过定点（点在圆内）直线与圆相交,求最短弦，最短弦是什么？？为什么是它最短？？

Answer 1

根据圆内相交弦定理：过圆内一点的任何一条弦被这个分成的两段之积为一定值
设圆内一点p，任意过p的一条弦被分为a，b两段
根据相交弦定理，姑且设这一定值为s
则ab＝s
求a+b最小
用均值定理a+b>=2*（ab）^2
以上取等号得条件是a＝b
故a＝b时，弦最短
连接圆心与点p，及弦与圆的交点与圆心
两条半径相等，为等腰三角形
底边点p为中点，所以根据等腰三角形性质，点p与圆心的连线为底边上的垂线，证毕

Answer 2

最短的弦是：与过这点的直径垂直的弦。
理由：
圆心到过这点P所作弦的弦心距的最大值CP，此时，弦垂直过点P的弦。。弦心距最大，则弦最短。