Question

一道关于导数和极限的简单高数题目～中值定理～求解过程！

不清楚那块是b→0时的极限





Answer 1

1/(ζ^2+1)=arctanb/b
ζ^2=b/arctanb-1
ζ^2/b^2=(b-arctanb)/(b^2*arctanb)
lim(b→0)ζ^2/b^2=lim(b→0)(b-arctanb)/(b^2*arctanb)
令b=tant
则原式=lim(t→0)(tant-t)/(t*tan^2(t))=lim(t→0)(1/cos^2(t)-1)/(tan^2(t)+2t*tant/cos^2(t))=lim(t→0)sin^2(t)/(sin^2(t)+2t*tant)=lim(t→0)2sintcost/(2sintcost+2tant+2t/cos^2(t))=lim(t→0)sintcos^3(t)/(sintcos^3(t)+sintcost+t)=lim(t→0)(cos^4(t)-3sin^2(t)cos^2(t))/(cos^4(t)-3sin^2(t)cos^2(t)+cos^2(t)-sin^2(t)+1)=(1-0)/(1-0+1-0+1)=1/3

Answer 2

跟你说下思路，你先对f(x)使用拉格朗日中值定理，可得到arctanb与ζ^2的关系式
利用这个关系式求下ζ^2等于多少
可以得到ζ^2=b/arctanb-1 然后两边同除b^2 右式等于((b/arctanb)-1)/b^2这个极限用罗比达法则求下
得到极限值为1/3