Question

关于数列的数学题，求答案和解析过程

数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=1，an+1（n+1是脚标）=（1/3）Sn，n=1，2，3…求（1）a2，a3，a4的值及数列｛an｝的通项公式；（2）a2+a4+a6+…+a2n的值

Answer 1

解(1)：
依题意，由an+1=Sn/3可得Sn=3(an+1) 或 Sn-1=3an (式1)
又因为Sn=Sn-1+an （式2）
将（式1）、（式2）代入an+1=Sn/3 可得：an+1=(Sn-1+an)/3=(3an+an)/3=(4/3)an
即：an+1/an=4/3 (n>1)
所以，数列{an}除n=1时为a1外，其余为等比数列，该等比数列首项为a2，公比q=4/3，n>1
因为S1=a1=1，先解得首项a2=S1/3=1/3
通项公式：n>1时，an=a2*q^(n-2)=(1/3)*(4/3)^(n-2)；n=1时，a1=1
由通项公式得：a2=1/3，a3=4/9，a4=16/27

解(2)：
由前述可知，数列a2,a4,a6...a2n也是等比数列，首项为a2，公比q=16/9，n=1,2,3...
Sn=a2(q^n-1)/(q-1)=(1/3)*((16/9)^n-1)/(16/9-1)
验算：n=1时，Sn=1/3；n=2时，S2=25/27，a2+a4=a2+(16/9)a2=(25/9)a2=25/27=S2

Answer 2

这个不是很简单的么
a2=1/3 a3=4/9 a4=16/27 实际上这么列出来 还看不出来么。
如果要自己去算就是 an+1-an+2=（1/3)(sn-sn+1)
转化为 an+2=4/3*an+1 所以an=（1/3)*(4/3)^n-2 (n>1) a1=1
所以sn=9/16*(4/3)^n+1 so s2n=、、、、