Question

已知向量a=(根号3sin2x,cos2x),b=(cos2x,-cos2x),函数f(x)=a*b,

1，求函数f(x)的最小值及取得最小值的x的集合；2，求函数f(x)的单调递减区间

Answer 1

代入向量ab可得
f(x)=√3sin2x*cos2x-(cos2x)^2
=√3/2*sin(4x)-(cos4x)/2-1/2
=sin(4x-π/6)-1/2
因为sin(4x-π/6)取值为[-1,1]
所以f(x)的值域为[-3/2,1/2]
(1)f(x)的最小值为-3/2
此时sin(4x-π/6)=-1
4x-π/6=-π/2±2kπ(k为自然数)

解得x=-π/12±kπ/2
(2)有正弦三角函数的性质可知
π/2+2kπ<4x-π/6<3π/2+2kπ为递减区间

化简可得
π/6+kπ/2<x<5π/12+kπ/2(k为整数)

Answer 2

解：(1)f(x)=a*b=(√3sin2x,cos2x)(cos2x,-cos2x)
=√3sin2x*cos2x-cos2x*cos2x
=(√3/2)sin4x-(cos4x+1)/2
=(√3/2)sin4x-(cos4x)/2-1/2
=sin(4x-π/6)－1/2
又∵sin(4x-π/6)∈【－1，1】 ∴f(x)的最小值为－3/2.
既当sin(4x-π/6）＝－1时
即4x-π/6＝－π/2+2kπ
x＝－π/12＋kπ/2
(2)π/2+2kπ≤4x-π/6≤3π/2+2kπ
π/12＋kπ/2≤x≤π/3+2kπ.
辅助角公式 asinx+bcosx
=√(a^2+b^2){sinx*（a/√(a^2+b^2)+cosx*(b/√(a^2+b^2)}
=√(a^2+b^2)sin(x+φ)
所以：cosφ=a/√(a^2+b^2) 或者 sinφ=b/√(a^2+b^2) 或者 tanφ=b/a（φ=arctanb/a ）.

Answer 3