Question

求圆x^2+y^2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程

注意，直线方程里是减5。谢了

Answer 1

x^2+y^2+4x-12y+39=0

化为标准方程
(x+2)^2+(y-6)^2=1
关于直线的对称圆，只需求圆心的对称点就行，半径不变。
即求点（-2,6）关于直线3x-4y-5=0的对称点。
对称点到直线的距离相等，连线的垂直直线。
设对称点为(a,b)
l-2*3-4*6-5l/5=l3a-4b-5l/5
35=l3a-4b-5l,3a-4b=-30(舍去,因为这是点(-2,6))或3a-4b=40
(b-6)/(a+2)=-4/3
4a+3b=10
所以可以求出a=32/5,b=-26/5
所以对称圆为
(x-32/5)^2+(y+26/5)^2=1

Answer 2

配方：（x+2)^2+(y-6)^2=1,
即圆心为P(-2, 6),半径为1
设圆心的对称点为P‘(a, b)
则PP'的中点在直线上，即有3(a-2)/2-4(b+6)/2-5=0, 得：3a-4b=40
PP'与直线垂直，即斜率=(b-6)/(a+2)=-4/3, 得：4a+3b=10
解得：a=32/5, b= -26/5
因此对称圆的方程为(x-32/5)^2+(y+26/5)^2=1