Question

求高等代数题一题，要自己出的，包括解答。。。

Answer 1

这是我回答别的问题时举的一个例子，愿它对你有启发！
T是R^n上的一个线性变换，λ1,,...,λk为其k个互不相等的特征值，
α1,...,αk为相应的特征向量，W为T的不变子空间，β=α1+...+αk为W中的向量，
证明W的维数不小于k
证明：
由于β∈W，故对β作用多少次T结果也还在W中，
故β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)都在W中
只需证明β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)线性无关
由于
β=α1+...+αk
Tβ=λ1α1+...+λkαk
.......................
T^(k-1)β=λ1^(n-1)α1+...+λk^(k-1)αk
若存在l1,...,lk使得∑[i=1,k]liT^(i-1)β=0
则V(l1,...,lk)'=0①
V为k阶范德蒙矩阵，且λ1,,...,λk彼此不等，故V满秩
故①只有零解，即l1,...,lk全为零
故β,T(β),T^2(β),...,T^(k-1)(β)线性无关
故dim(W)≥k