Question

已知函数f(x)=1/2x^2-ax+(a-1)lnx,a>1,讨论f(x)的单调性

对于这类题该怎么做啊?

Answer 1

解：1）
f（x）=1/2x²-ax+（a-1）lnx，a＞1,x>0
求导
f'(x)=x-a+(a-1)/x=[x-(a-1)](x-1)/x
I）当1<a<2,x∈(0,a-1)，f'(x)>0,f(x)单调递增
x∈(a-1,1)，f'(x)<0,f(x)单调递减
x∈(1,+∞)，f'(x)>0,f(x)单调递增
II）当a=2，f'(x)=(x-1)^2/x>=0,且f'(x)不恒为0，f(x)在x∈(0,+∞)，单调递增
III）当a>2,时
x∈(0,1)，f'(x)>0,f(x)单调递增
x∈(1,a-1)，f'(x)<0,f(x)单调递减
x∈(a-1,+∞)，f'(x)>0,f(x)单调递增

追问

12是怎么定出来的?

追答

是二个根a-1和1比较得到的
当a-1>1时有a>2,当a-1<1时有a<2

Answer 2

f'(x)=x-a+(a-1)/x=(x^2-ax+a-1)/x=(x-1)(x+1-a)/x
由lnx得知，x>0
又a>1，所以a-1>0
1、1<a<2 时，a-1<=1
a-1<=x<=1时，f'(x)<=0，f(x)单调下降
0<x<=a-1 或x>=1时，f'(x)>=0，f(x)单调递增
2、a>2时，a-1>=1
1<=x<=a-1时，f'(x)<=0，f(x)单调下降
0<x<=1 或x>=a-1时，f'(x)>=0，f(x)单调递增
3、当 a=2 时，f'(x)=(x-1)^2/x>=0
f(x) (x>0) 单调递增

Answer 3

Answer 4

求导，然后导数大于零就是增区间，小于零就是减区间