Question

如右图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点.

（1）求证:AD⊥平面A1DC1
（2）求A1D与平面BCC1B1所成角的余弦值。

Answer 1

1、∵B1D=BB1/2=1，A1B1=1，
∴A1D=√2，
同理AD=√2，
AA1=2，
∴A1D^2+AD^2=AA1^2,
根据勾股定理逆定理，
△A1BA是等腰RT△，
∴A1D⊥AD，
AC1=√（AC^2+CC1^2)=√5，
∵<B1A1C1=90°,
∴△A1B1C1是等腰RT△，
∴B1C1=√2，
∴DC1=√3，
C1D^2+AD^2=5=AC1^2，
根据勾股定理逆定理，
△C1DA是RT△，
∴C1D⊥AD，
∵C1D∩AD=D，
∴A1D⊥平面A1DC1。
2、取B1C1中点M，连结A1M、DM，
∵△A1B1C1是等腰RT△，
∴A1M⊥B1C1，
∵平面BCC1B1⊥平面A1B1C1，
∴A1M⊥平面BCC1B1，
∴<A1DM是A1D和平面BCC1B1所成角，
DM=√（B1M^2+B1D^2)=√（1/2+1）=√6/2，
A1D=√2，
∴cos<A1DM=DM/A1D=（√6/2）/√2=√3/2，
∴A1D与平面BCC1B1所成角的余弦值为√3/2。