Question

已知向量a=(sina,cosa+1),b=(cosa,sina+1),a∈(π/2,π) 1. a//b能否成立?

已知向量a=(sina,cosa+1),b=(cosa,sina+1),a∈(π/2,π) 1. a//b能否成立?若能成立，求出a的值；若不能成立，请说明理由.2.若f（a）=a*（a-b），求f（a）的最大值及此时a的值

Answer 1

若平行，则
(sina)^2+sina=(cosa)^2+cosa
sina-cosa=cos2a
1-2sin2a=(cos2a)^2
sin2a(sin2a-2)=0
定义域内无解。a,b不能平行。
f(a)应该是内积吧。若是，则
f(a)=(cosa-sina)^2+(cosa-sina)
cosa-sina的值域为[-2^(1/2),-1）
f(a)∈(0,2-2^(1/2)]
最大值为2-2^(1/2)
此时a=3π/4

Answer 2

（1）
若a∥b，则sina(sina+1)=cosa(cosa+1)
(sina+cosa+1)(sina-cosa)=0
则sina+cosa+1=0或sina=cosa
sina+cosa+1=0，即√2sin(a+ π/4)=-1
π/2<a<π，则3π/4<a+π/4<5π/4，-√2/2<sin(a+π/4)<√2/2，-1<√2sin(a+ π/4)<1
则sina+cosa+1=0不成立
而且π/2<a<π，cosa<0，sina>0，sina-cosa=0不成立
综上a∥b不能成立
（2）
f(a)=a*(a-b)=sina(sina-cosa)+(cosa+1)(cosa-sina)
=sin²a+cos²a-2sinacosa+cosa-sina
=(sina-cosa)²-(sina-cosa) 令t=sina-cosa
=t²-t
t=sina-cosa=√2sin(a- π/4)
π/2<a<π，则π/4<a-π/4<3π/4，√2/2<sin(a+π/4)<=1，1<√2sin(a+ π/4)<=√2，1<t<=√2
则f(t)=t²-t=(t-1/2)²-1/4在1<t<=√2时单调递增
f(t)max=f(√2)=2-√2
此时a=3π/4