Question

计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,∑是上半球面z=根下1-x^2-y^2的上侧

Answer 1

解：在半球面∑上添加圆面S：(x²+y²=1，z=0)，使之构成封闭曲面V=∑+S。
∵∫∫<S>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=0 (∵z=0，∴dz=0)
∴ ∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy+∫∫<S>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=∫∫∫<V>(3x²+3y²+3z²)dxdydz (应用高斯公式)
=3∫∫∫<V>(x²+y²+z²)dxdydz
=3∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>dφ∫<0,1>r²*r²sinφdr (作球面坐标变换)
=3*(2π)*(cos(0)-cos(π/2))*(1^5/5-0^5/5)
=6π/5
故∫∫<∑>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy=∫∫∫<V>(3x²+3y²+3z²)dxdydz-∫∫<S>x³dydz+y³dzdx+z³dxdy
=6π/5-0
=6π/5。

Answer 2

∑是上半球面z=根下1-x^2-y^2的上侧， 可以将球面补成封闭曲面，即加上底面x^2+y^2=1，然后就可以用高斯公式了，利用高斯公式将上式转换为三重积分就容易做了。注意，既然多加了一个面，则式子中还要减去上式在所加面上的积分

追问

能不能写下详细解答啊，求你了