Question

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在X轴负半轴上有一点B，

满足|BF1|=|F1F2|，且AB⊥AF2
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、B、F2三点的原恰好与直线l:x-√3y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F2作斜率为K（k≠0）的直线l'与椭圆C交于M、N两点。在x轴上是否存在点P(m,0)使得|PM|=|PN|，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由。

Answer 1

 

Answer 2

(1)AB^2+AF2^2=BF2^2
即(3c)^2+b^2+c^2+b^2=(4c)^2化简得b^2=3c^2
由a^2=b^2+c^2,c^2/a^2=1/4
∴e=c/a=1/2
(2)显然该圆圆心为F1（-c，0）,半径为2c
∴d=|-c-3|/2=2c解得c=1
∴x^2/4+y^2/3=1
(3)存在。画一个示意图，当直线l’从垂直x轴开始逆时针旋转时，MN中垂线与x轴交点（即点P）从P2至原点O移动（不包括两端点）
∴m∈（0,1）