Question

数学问题，分子是1分母有三项相乘的分式如何裂项！！！求解！！！

Answer 1

不知道你要问的是否是1/[n(n+1)(n+2)]如何裂项？比如让求
Sn=1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+……+1/[n(n+1)(n+2)]
因1/[n(n+1)(n+2)]=1/2*2/[n(n+1)(n+2)]
=1/2*[(n+2)-n]/[n(n+1)(n+2)]
=1/2*{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
故
Sn=1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+……+1/[n(n+1)(n+2)]
=1/2*[1/(1*2)-1/(2*3)]+1/2*[1/(2*3)-1/(3*4)]+……+1/2*{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
=1/2*{1/(1*2)-1/[(n+1)(n+2)]}
=1/2*[(n+1)(n+2)-2]/[2(n+1)(n+2)]
=n(n+3)/[4(n+1)(n+2)]
不明白请追问。

追问

有个题目是:1/[(2+x)(1+x)(1-x)]，答应是拆分后分母多了系数，不知道怎么得出来的！！

追答

你这道题目无法用裂项法，因为:1/[(2+x)(1+x)(1-x)]=-1/[(2+x)(1+x)(x-1)]，分母三个因子不是等差数列，所以裂项后无法错位相消。所以这道题目裂项法不能凑效。似乎用其它办法也得不出和式

追问

哦哦，刚刚发错了，是这样的

追答

这样的题可用待定系数法。
设1/[(2-x)(2+x)(4+x^2)]=A/(2-x)+B/(2+x)+(Cx+D)/(4+x^2)
然后右端通分，令分子恒等于1，也即令x的超过1次幂以上的系数都等于0，常数项等于1，解四元一次方程组即可。
像这样的有理分式积分，一般都需要用此裂项法，裂项时待定系数法是万能方法。如果分子最高次幂高于分母，需要用综合除法写成整式+真分式的形式。整式积分很easy，真分式积分时还需裂项。
真分式的分子是多项式，分母必须能分解因式，且其所有因子都须是(x+a)^r的形式或(x^2+bx+c)^t的形式（b^2-4c<0）。这是因为对任意的x^2+bx+c，如果判别式≥0，则必可分解为两个一次的乘积。
对前者，裂项时只需出现a1/(x+a)^r+a2/(x+a)^(r-1)+……+ar/(x+a);
对后者，裂项时须出现(b11x+b12)/(x^2+bx+c)^t+(b21x+b22)/(x^2+bx+c)^(t-1)+……+(bt1x+bt2)/(x^2+bx+c)
然后再进行各项的积分。

Answer 2

那要看是怎么样的三项相乘了，不过我猜应该是这种类型的吧
1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
度娘一下裂项法就行了，百度百科很全的，但是不是随便几个数都能裂项的