Question

设x=m和x=n是函数f(x)=lnx+1/2x^2-(a+2)x的两个极值点，m＜n (1)求f(m)+f(n)的取值范围

（2）若a≥√e＋1／√e－2,求f(n)-f(m)的最大值

Answer 1

1、
f'(x)=1/x+x-a-2=0
x²-(a+2)x+1=0
定义域为x>0，所以，该方程要有两个不等的正根
则：(a+2)²-4>0，得：a<-4或a>0
a+2>0，得：a>-2
1>0，得：a∈R
所以，a>0
且m+n=a+2，mn=1
f(m)+f(n)=lnm+m²/2-(a+2)m+lnn+n²/2-(a+2)n
=ln(mn)+(m²+n²)/2-(a+2)(m+n)
=ln(mn)+[(m+n)²-2mn]/2-(a+2)(m+n)
=ln1+[(a+2)²-2]/2-(a+2)²
=-(a+2)²/2-1
因为a>0，所以，g(a)=-(a+2)²/2-1<-3
所以，f(m)+f(n)的取值范围是(-∞,-3)

2、请把a的范围表达清楚~~

追问

a大于等于根号e加上根号e分之一再减2，谢谢~~~~

追答

f(n)-f(m)=lnn+n²/2-(a+2)n-[lnm+m²/2-(a+2)m]
=lnn-lnm+(n²-m²)/2-(a+2)(n-m)
=ln(n/m)+(n-m)[(n+m)/2-(a+2)]
=ln(n/m)-(n-m)(a+2)/2
m，n是方程x²-(a+2)x+1=0的根
m+n=a+2，mn=1，又m2，
所以，t'>0
所以，t(c)是增函数，
c²-4=(√e+1/√e)²-4=(√e-1/√e)²
c=√e+1/√e时，t(c)有最小值为(e+1/e)/2+(√e+1/√e)(√e-1/√e)/2=(e+1/e)/2+(e-1/e)/2=e
又t=n/m，01
所以，t≧e
f(n)-f(m)=ln(t)-(t-1/t)/2
令g(t)=ln(t)-(t-1/t)/2，t≧e
g'(t)=1/t-1/2-1/2t²
=(2t-t²-1)/2t²
=-(t-1)²/2t²
<0
所以，g(t)在定义域上为减函数
则最大值为g(e)=lne-(e-1/e)/2=1-e/2+1/2e
即f(n)-f(m)的最大值为1-e/2+1/2e

Answer 2

f'(x)=(1/x)+x-a-2=0
x^2-(a+2)x+1=0
m,n是它的两个根
m+n=a+2, mn=1
m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=(a+2)^2-2

判别式=(a+2)^2-4=a(a+4)>0
a>0 或a<-4
而f(x)的定义域为x>0, 所以m>0,n>0
m+n=a+2>0
a>-2
所以：a>0

f(m)+f(n)=ln(mn)+(1/2)(m^2+n^2)-(a+2)(m+n)
=-(1/2)(a+2)^2-1<-(1/2)*2^2-1=-3
所以：-无穷大<f(m)+f(n)<-3

f(n)-f(m)=ln(n/m)+(1/2)(n^2-m^2)-(a+2)(n-m)
=ln(n^2)+(1/2)(n^2-m^2)-(m+n)(n-m)
=2lnn-(1/2)(n^2-m^2)
=2lnn-(1/2)(n^2-n^(-2))
设F(n)=2lnn-(1/2)(n^2-n^(-2)), 其中n>0
则：F'(n)=(2/n)-n-n^(-3)=[(n^2-1)^2-2]/n^3
当F'(n)=0, 则：n^2=1+根号2，n=根号(1+根号2)
当n>根号(1+根号2), F'(n)>0, F(n)单调增