Question

欧拉积分∫(0到正无穷)x^(a-1)*e^(-x^2)dx的收敛域为

Answer 1

a>0。
a>=1的时候，要看x趋于无穷的情况，此时x^(a-1)比起e^x，都是无穷小，而e^x*e^(-x^2)显然是收敛的。
a<=1的时候，就要看x趋于0的时候了，e^(-x^2)可以看成1，相当于x^(a-1)的收敛。可以看出，a<0的时候，原函数相当于x^a量级，所以不会收敛。a>0的时候，没问题。a=0，相当于ln(x)，也不行。

Answer 2

a>0。
a>=1的时候，要看x趋于无穷的情况，此时x^(a-1)比起e^x，都是无穷小，而e^x*e^(-x^2)显然是收敛的。
a<=1的时候，就要看x趋于0的时候了，e^(-x^2)可以看成1，相当于x^(a-1)的收敛。可以看出，a<0的时候，原函数相当于x^a量级，所以不会收敛。a>0的时候，没问题。a=0，相当于ln(x)，也不行。

Answer 3

a>0。

a>=1的时候，要看x趋于无穷的情况，此时x^(a-1)比起e^x，都是无穷小，而e^x*e^(-x^2)显然是收敛的。

a<=1的时候，就要看x趋于0的时候了，e^(-x^2)可以看成1，相当于x^(a-1)的收敛。可以看出，a<0的时候，原函数相当于x^a量级，所以不会收敛。a>0的时候，没问题。a=0，相当于ln(x)，也不行。

追问

但是答案是a >1/2 tangram_guid_1357996796828?

追答

恩，我网上查过了。欧拉积分的收敛域确实是a>0，应该不会错的。