Question

线性代数问题！

存在向量x，使得f(x)=xAx的转置>0,存在向量y,使得f(y)=yAy的转置<0,证明存在z（非零）,是的f(z)=zAz的转置=0
求大神们指导~！

Answer 1

设A的秩为r，经过非退化的线性替换，X=CY将原二次型化为规范型，根据题目意思，这个A是个不定二次型，可以设正惯性指数观星指数是p，则f=y1方+y2方+ +yp方-yp+1方- -yr方，那就取y1=1，yr=1，其他的都是0，这样一个向量即m=（1，0， 。。。。 0，1），然后再替换回去，根据刚才我们设的X=CY，z=Cm就是要找的，能让zaz=0 的向量