Question

已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为a,侧棱为2a,

,求:(1)点A到直线B1C的距离（2）二面角A-B1C-B的正切值

Answer 1

^2是平方

1) 过A作AF⊥B1C于F，则AF即为所求

    联结AC、AB1，由于AF是△AB1C的高，可以考虑通过面积法求高

    AC=√(AB^2+BC^2)=√(a^2+a^2)=√2a

    AB1=√(AB^2+BB1^2)=√(a^2+(2a^2))=√5a

    B1C=√(BC^2+BB1^2)=√(a^2+(2a)^2)=√5a

    发现AB1=B1C，△AB1C是等腰三角形，过B1作B1E⊥AC于E，则AE=AC/2=√2a/2

    且B1E=√(AB1^2-AE^2)=√((√5a)^2-(√2a/2)^2)=3√2a/2

    由于B1E*AC=AF*B1C=2S△AB1C，所以AF=B1E*AC/B1C=3√2a/2*√2a/(√5a)=3√5a/5

    即点A到直线B1C的距离为3√5a/5

2) 注意到AB⊥平面BB1C，所以A在平面BB1C上的射影为B

    即△AB1C在平面BB1C上的射影为△BB1C

    有一条射影定理：

    平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦

    在这道题中，二面角的余弦值=射影三角形的面积/原三角形的面积

    若设二面角A-B1C-B为θ，则有cosθ=S△BB1C/△AB1C

    由于S△BB1C=BC*BB1/2=a*2a/2=a^2，S△AB1C=AC*B1E/2=√2a*3√2a/2/2=3a^2/2

    所以cosθ=a^2/(3a^2/2)=2/3

    根据三角函数公式：(secθ)^2=(tanθ)^2+1

    由cosθ=2/3，得secθ=1/cosθ=1/(2/3)=3/2，则(tanθ)^2=(secθ)^2-1=(3/2)^2-1=5/4

    由于θ是二面角，所以θ∈(0，π)，而cosθ>0，所以θ∈(0，π/2)

    所以tanθ>0，则tanθ=√(5/4)=√5/2

    即二面角A-B1C-B的正切值为√5/2