已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为a,侧棱为2a,
^2是平方
1) 过A作AF⊥B1C于F,则AF即为所求
联结AC、AB1,由于AF是△AB1C的高,可以考虑通过面积法求高
AC=√(AB^2+BC^2)=√(a^2+a^2)=√2a
AB1=√(AB^2+BB1^2)=√(a^2+(2a^2))=√5a
B1C=√(BC^2+BB1^2)=√(a^2+(2a)^2)=√5a
发现AB1=B1C,△AB1C是等腰三角形,过B1作B1E⊥AC于E,则AE=AC/2=√2a/2
且B1E=√(AB1^2-AE^2)=√((√5a)^2-(√2a/2)^2)=3√2a/2
由于B1E*AC=AF*B1C=2S△AB1C,所以AF=B1E*AC/B1C=3√2a/2*√2a/(√5a)=3√5a/5
即点A到直线B1C的距离为3√5a/5
2) 注意到AB⊥平面BB1C,所以A在平面BB1C上的射影为B
即△AB1C在平面BB1C上的射影为△BB1C
有一条射影定理:
平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦
在这道题中,二面角的余弦值=射影三角形的面积/原三角形的面积
若设二面角A-B1C-B为θ,则有cosθ=S△BB1C/△AB1C
由于S△BB1C=BC*BB1/2=a*2a/2=a^2,S△AB1C=AC*B1E/2=√2a*3√2a/2/2=3a^2/2
所以cosθ=a^2/(3a^2/2)=2/3
根据三角函数公式:(secθ)^2=(tanθ)^2+1
由cosθ=2/3,得secθ=1/cosθ=1/(2/3)=3/2,则(tanθ)^2=(secθ)^2-1=(3/2)^2-1=5/4
由于θ是二面角,所以θ∈(0,π),而cosθ>0,所以θ∈(0,π/2)
所以tanθ>0,则tanθ=√(5/4)=√5/2
即二面角A-B1C-B的正切值为√5/2
参考资料: http://baike.baidu.com/view/735.htm#3