Question

已知椭圆C:x2/2+y2=1,求

若斜率为1的直线L交椭圆C于P,Q两点,且OP⊥OQ ,求直线L的方程
求以点P（1，1/2）为中点的弦所在的直线方程

Answer 1

设直线L的方程为y=x+b,设P(x1,y1),Q(x2,y2)
将直线方程代入到椭圆方程得：
x^2/2+(x+b)^2=1 即：x^2+2(x^2+2bx+b^2)=2 化简：
3x^2+4bx+2b^2-2=0 则有：
x1+x2=-4b/3
x1x2=(2b^2-2)/3
直线OP的斜率为：(y1-0)/(x1-0)=y1/x1
直线OQ的斜率为：(y2-0)/(x2-0)=y2/x2
OP垂直OQ 则有两直线的斜率积为-1，即y1y2/x1x2=-1 y1y2=-x1x2
P,Q在直线L上，满足：
y1=x1+b (1)
y2=x2+b (2)
(1)*(2)得：y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b^2
(将x1+x2=-4b/3 x1x2=(2b^2-2)/3 y1y2=-x1x2代入)化简得：
-x1x2=2x1x2+b(x1+x2)+b^2 3x1x2+b(x1+x2)+b^2=0
2b^2-2-4b^2/3+b^2=0 5b^2/3=2 b^2=6/5
直线L为： y=x+√30/5
或者：y=x-√30/5

求以点P（1，1/2）为中点的弦所在的直线方程
设直线方程为y=kx+b，与椭圆相交，代入椭圆方程，得到一个一元二次方程，有韦达定理知
x1+x2=....=2xp=2*1=2 (1)
y1=kx1+b
y2=kx2+b y1+y2=k(x1+x2)+2b=2k+2b=2yp=2*(1/2)=1 (2)
有（1），（2）联立解求得k，b，方法告诉了，你自己动手求一下。