Question

已知椭圆C的方程为x²+5y²-5=0

Answer 1

标准化：x²/5+y²=1
易得c=2,所以左焦点F1(-2,0)；
1、设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0；
点A,B在椭圆x²+5y²=5上,
所以：x1²+5y1²=5,x2²+5y2²=5
点差：x1²-x2²+5(y1²-y2²)=0
(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0
2x0(x1-x2)=-10y0(y1-y2)
-x0/5y0=(y1-y2)/(x1-x2) ①
(y1-y2)/(x1-x2)表示的是AB的斜率,
因为点F1(-2,0)和点M(x0,y0)也在AB上,
所以,AB 的斜率也可以用y0/(x0+2)来表示,即(y1-y2)/(x1-x2)=y0/(x0+2),代入①式
得：-x0/5y0=y0/(x0+2)
-x0(x0+2)=5y0²
-x0²-2x0=5y0²
即x0²+2x0+5y0²=0,
(x0+1)²+5y0²=1,（这其实是一个椭圆,中心是(-1,0)）
所以,AB中点的轨迹是一个椭圆,轨迹方程为：(x+1)²+5y²=1；
2、设弦的端点是A,B；A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0；
点A,B在椭圆x²+5y²=5上,
所以：x1²+5y1²=5,x2²+5y2²=5
点差：x1²-x2²+5(y1²-y2²)=0
(x1+x2)(x1-x2)+5(y1+y2)(y1-y2)=0
2x0(x1-x2)=-10y0(y1-y2)
-x0/5y0=(y1-y2)/(x1-x2)
(y1-y2)/(x1-x2)表示的是AB的斜率,
因为AB的斜率=1；
所以：(y1-y2)/(x1-x2)=1
则-x0/5y0=1
得：y0=-x0/5 （x0是有范围的,自己去求一下）