Question

求(e^x-e^y)/sinxy在（0,0）的极限

Answer 1

∵当y=x时,lim(x->0,y->0)[(e^x-e^y)/sin(xy)]=lim(x->0)[(e^x-e^x)/sin(x²)]。

=lim(x->0)[0/sin(x²)]

=0

当y=0时,lim(x->0,y->0)[(e^x-e^y)/sin(xy)]=lim(x->0)[(e^x-e^0)/sin(0)]。

=lim(x->0)[(e^x-1)/0]

=∞

∴说明x和y沿着不同的路径趋近于零时,(e^x-e^y)/sin(xy)的极限值都不相同。

故(e^x-e^y)/sin(xy)在（0,0）的极限不存在。

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。

Answer 2

解：∵当y=x时，lim(x->0,y->0)[(e^x-e^y)/sin(xy)]=lim(x->0)[(e^x-e^x)/sin(x²)]
=lim(x->0)[0/sin(x²)]
=0
当y=0时，lim(x->0,y->0)[(e^x-e^y)/sin(xy)]=lim(x->0)[(e^x-e^0)/sin(0)]
=lim(x->0)[(e^x-1)/0]
=∞
∴说明x和y沿着不同的路径趋近于零时，(e^x-e^y)/sin(xy)的极限值都不相同
故(e^x-e^y)/sin(xy)在（0,0）的极限不存在。

Answer 3

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