Question

已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD,DE交AC于点F.

(1)求证△ACE=△BCD
（2）猜想△DCE的形状，并证明
（3）若AB=2，那么点D在AB上的什么位置时，能使△AEF成为直角三角形？请在图中（为一个直角三角形的图）画出相应的图形，并直接写出此时线段AD的长

Answer 1

（1）因为EA垂直于AB，且在△ABC中，AC=BC,所以∠EAC=∠CBD=45°，

又AE=BD,AC=BC

所以

△ACE=△BCD

 

 

⑵ DC＝EC.∠ECD＝∠ECA+∠DCA＝∠BCD+∠DCA＝∠ACB＝90º

     ∴△DCE是等腰直角三角形。

3.要使△AEF成为直角三角形，那么在等腰直角△ABC中，EF垂直于AF，

又△ACE=△BCD

所以四边形AECD是正方形，才有EF垂直于AF

所以当D处于AB的中点，△AEF成为直角三角形，所以AD=1

Answer 2

(1)证明：因为角ACB=90度
AC=BC
所以三角形ABC是等腰直角三角形
所以角BAC=角B=45度
因为AE垂直AB
所以角BAE=角CAE+角BAC=90度
所以角CAE=角B=45度
因为AE=BD
AC=BC
所以三角形ACE和三角形BCD全等（SAS)
(2)三角形DCE是等腰直角三角形
证明：因为三角形ACE和三角形BCD全等(已证）
所以CE=CD
角ACE=角BCD
因为角ACB=角ACD+角BCD=90度
所以角DCE=角ACE+角ACD=90度
所以三角形DCE是等腰直角三角形
（3）点D在AD=1/2AB=1的位置时，三角形AEF成为直角三角形
AD=1

Answer 3