Question

设点p(x,y)在圆x^2+(y-1)^2=1上。y+2/x+1的最小值 务必详细

Answer 1

设(y+2)/(x+1)=k,就是求圆上一点到点(-1,-2)连线的斜率.当连线与圆相切时有最小值.

即有y=k(x+1)-2与圆相切.
那么圆心到直线的距离d=|-1+k-2|/根号(1+K^2)=1
|K-3|^2=1+K^2
K^2-6K+9=1+K^2
K=4/3
即最小值是:4/3.

Answer 2

令 m=(y+2)/(x+1)，y=m(x+1)-2，代入圆方程：
x²+(m(x+1)-2-1)²=1
x²+(mx+m-3)²=1
x²+m²x²+2m(m-3)x+(m-3)²=1
(1+m²)x²+2m(m-3)x+(m-3)²-1=0
x 要有解，(2m(m-3))²-4(1+m²)[(m-3)²-1]>=0
m²(m-3)²-(m²+1)[(m-3)²-1]>=0
m²(m-3)²-m²(m-3)²+m²-(m-3)²+1>=0
(m-3)²-m²-1<=0
m²-6m+9-m²-1<=0
6m>=8
m>=4/3
所以 最小值为 4/3

Answer 3

问题实际是一个求最小斜率的问题，由数型结合可以看到，最小值就是过点（-2，-1）切圆的一条切线的斜率，

追问

怎么求斜率？

追答

根据切线与切点 A和原点O的连线垂直可以联系方程x^2+(y-1)^2=1，和（y+2）/（x+1）*（y-1）/x=-1,解得切点的坐标，在代入到y+2/x+1，自然就是答案 了