Question

已知函数f（x）=（a+blnx）/（x+1）在点（1，f（1））处的切线方

已知函数f（x）=（a+blnx）/（x+1）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2 （Ⅰ）求a，b的值 （Ⅱ）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f（x）＜m/x成立，求实数m的取值范围

Answer 1

I) f'(x)=[b(x+1)/x-(a+blnx)]/(x+1)^2
f'(1)=[2b-a]/4
f(1)=a/2
切线应为y=(2b-a)/4*(x-1)+a/2=(2b-a)/4*x+(3a-2b)/4
对比x+y=2得：(2b-a)/4=-1, (3a-2b)/4=2
解得：a=2, b=-1
II)定义域为x>0, 由f(x)<m/x,得：m>xf(x)
令g(x)=xf(x)=x(2-lnx)/(x+1), 现求g(x)的最大值
g'(x)=[(1-lnx)(x+1)-x(2-lnx)]/(x+1)^2=[1-lnx-x]/(x+1)^2
h(x)=1-lnx-x
h'(x)=-1/x-1<0, 因此h(x)单调减，
故g'(x)=0只有一个根，1-lnx-x=0, 显然x=1为其根。
x=1即为g(x)的极大值点
此时g(1)=1
故有m>1