Question

设f(x)=定积分(lnt/1+t)dt(x>0),上限x,下限1,求f(x)+f(1/x)

Answer 1

f(x) = ∫Lnx/(1+x) dx x = 1→x ①
= ∫LnM /(1+M) dM M= 1→x 先 感受一下写成积分变量M不影响结果
= ∫LnS /(1+S) dS S = 1→x 同样不影响 -----------下面要用这个结果的
f(1/x) = ∫Lnt/(1+t) dt t = 1→1/x ② 令 t = 1/u
= ∫Ln(1/u)/(1+1/u) d(1/u) u= 1→x
= ∫Lnu / [u (1+u)] du u= 1→x
= ∫Lnu / u du - ∫Lnu / (1+u) du 因为： 1 / [u (1+u)] = 1/u - 1/(1+u)
由于积分符号和积分值 没有关系-----要理解这点------见上面M和S那里的说明，故
= ∫LnS / S dS - ∫LnS / (1+S) dS 后面这个积分恰好和 ① 抵消，呵呵
所以 原积分 = f(x) + f(1/x)
= ∫LnS/(1+S) dS + ∫LnS / SdS - ∫LnS / (1+S) dS
=∫LnS / S dS
= Ln²S / 2 S = 1→x
= Ln ² x / 2 但这里的变量必须是 x，不能为其它，因为函数 f(x)自变量
答案： Ln ² x / 2

Answer 2

=[(lnx)^2]/2
先将f(1/x)的积分进行倒数换元，之后两式相加，积分就求出来了。