Question

一道初中数学压轴题 麻烦各路数学达人帮忙解决一下，O(∩_∩)O谢谢！

如图，在△ABC中，∠C=2∠B；点D在边BC上，且BD=2CD，过D作DE⊥BC交AB于E；点F在边AC上，且CF=CD；连接EF、DF。
（1）如图1，求证：∠EFD=90°；
（2）点G在边AC上（如图2），AE:AG=5:4，且∠BAD=∠CGD，DG=12，求AD的长度。

第一问我已经证出来了，就是根据二倍角的关系引辅助线，但是第二问没有做出来，请数学高人们帮忙，最好写写过程，或提示一下思路，O(∩_∩)O谢谢！！

Answer 1

换我考试我也做不出……

首先△GFD与△AED相似，只要注意到∠DFC = 90 - 1/2∠C = 90 - ∠B
∴AE/GF = DF/DE = AD/GD（所有的目标在于求AE/GF，下面要在GF和AG间建立联系）
从第一问的证明中可以知道∠FED = ∠EDB（不知道你怎么做，是取DC上的点H使CH = CD = CF吗）
∴DF/DE = BD/BE = cos∠B
从第一问还可以算出∠AEF = ∠ACB，所以△AEF与△ABC相似，
∴AE/AF = AC/AB
下面要把cos∠B与AC/AB建立联系。其实很简单：
显然AB*sin∠B = AC * sin2∠B
所以AB/AC = 2cos∠B = 2*DF/DE = 2AE/GF = AF/AE
（把上面所有的式子都用上）
由于AE:AG已知，所以可以求AE:FG
注意，由相似，AE/GF = AD/GD，这样求出了AD
不知道你学过三角函数没有？其实中间用三角函数那一步并不重要，关键是几个相似。用其它方法也能推出AG和GF的关系。

觉得你还是不怎么可能学过三角函数，没学过的话把上面sin,cos全部忽略掉（其它内容保留），我再补充一下：
关键是证明AB/AC = 2BD/BE
DC延长线上取K，KC = AC，则AB = AK
CL垂直于AK于L，△LCK相似于△BED
∴KL/CK = BD/BE
而KL = 1/2AK = 1/2BC，CK = CA，证毕。

Answer 2

解（1）证明∵AD⊥AB,点E是BD的中点
∴AE=BE=ED=1/2BD（ 直角三角形斜边上的中点与直角点的连线是斜边的一半）
∴∠B=∠BAE
∵∠AED是△BEA的外∠角
∴∠AED=∠B+∠BAE=2∠B
∵∠C=2∠B
∴∠AEC=∠C
（2）BD=2AE=13 AE=BE=6.5
由勾股定理得
AB=√BD^2-AD^2=√13^2-5^2=12
C△ABE=BE+AE+AB=6.5+6.5+12=25
祝愉快

Answer 3

同学，不是开玩笑，如果有时间，去学点高中的向量和解析几何吧（初中的大题目都是数形结合，这部分知识很适用），我第一反应是建系做成解析几何题，然后想到用向量AB 向量BD做基底来做，这个比解几更能做，尽管会很烦，但能在30分钟内做完（当年中考最后一题第二问，发现用高中向量做那叫一个快，只要7、8分钟，可惜我当时没去学花了20多分钟，还解错了）
如果硬要伤脑筋去做，就要用几何关系（我不太擅长几何，函数好一点，就不想了，抱歉）
角度，构造相似，巧用比例关系和你们初中的一些定理
加油^_^
还有第一问的结论，九成是帮你做第二问的）

Answer 4

强假拆店环钓轮屋必腿