Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)过点(1,3/2)且椭圆上的点到焦点的最小距离为焦距的一半

1 求椭圆C的方程
2若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交与不同的两点M N
（1）设点Q为线段MN的中点 试用k m表示Q点坐标
（2）若线段MN的垂直平分线过定点G（1/8,0）求k的取值范围

Answer 1

1.椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)过点(1,3/2)，
∴1/a^+9/(4b^)=1,①
椭圆上的点到焦点的最小距离为焦距的一半,
∴a-c=c,a=2c,a^=4c^=4(a^-b^),a^=(4/3)b^,代入①，
b^=3,
∴a^=4,椭圆C:x^2/4+y^2/3=1.②
2.（1）把y=kx+m代入②*12，得
3x^+4(k^x^+2kmx+m^)=12,
(3+4k^)x^+8kmx+4m^-12=0,③
设M(x1,y1),N(x2,y2),则
x1+x2=-8km/(3+4k^),
xQ=(x1+x2)/2=-4km/(3+4k^),
yQ=-4k^m/(3+4k^)+m=3m/(3+4k^),
即Q(-4km/(3+4k^),3m/(3+4k^)).
(2)由③，△/4=16k^m^-(3+4k^)(4m^-12)=-(12m^-36-48k^)>0,m≠0，
∴0<m^<3+4k^,④
线段MN的垂直平分线过定点G（1/8,0）,
∴GQ⊥MN,
∴GQ的斜率=3m/(-4km-3/8-k^/2)=-1/k,
∴3km=4km+3/8+k^/2,
-8km=3+4k^,
两边平方得64k^m^=(3+4k^)^,由④，64k^>3+4k^,
k^>1/20,
k>√5/10或k<-√5/10，为所求。