Question

高数：设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,试证：对于任意给定的正数a,b，在(0,1)内存在不同的ζ，η，使a/f'(ζ)+b/f'(η)=a+b.
提示：利用介值定理，再应用拉格朗日中值定理

Answer 1

由介值定理, 存在c∈(0,1), 使f(c) = a/(a+b).
由Lagrange中值定理, 存在ζ∈(0,c), 使f'(ζ) = (f(c)-f(0))/(c-0), 即有(a+b)c = a/f'(ζ).
又存在η∈(c,1), 使f'(η) = (f(1)-f(c))/(1-c), 即有(a+b)(1-c) = b/f'(η).
于是ζ < η满足a/f'(ζ)+b/f'(η) = a+b.

Answer 2

那里多写了个dx
由积分中值定理:存在a∈(0,1)使:(2/π)[e^f(a)]arctana=1/2,或[e^f(a)]arctana=π/4
设F(x)=arctanxe^f(x)，则:F(1)=arctan1e^f(1)=π/4，F(a)=arctanae^f(a)=π/4.
用罗尔定理,存在ζ∈(a,1)(当然ζ∈(0,1))，使:F’(ζ)=0
但F‘(x)=e^f(x)/(1+x^2)+arctanxe^f(x)*f'(x)
代入得:1/(1+ζ^2)+f'(ζ)arctanζ=0
即:(1+ζ^2)f'(ζ)arctanζ=-1