Question

已知函数y=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x,x属于R

(1)求该函数的单调增区间;
(2)求该函数的最大值及对应的x的值;
(3)求该函数的对称轴方程与对称中心坐标

Answer 1

y=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x
=1/2(1-cos2x)+sin2x+3/2(1+cos2x)
=sin2x+cos2x+2
=√2(√2/2sin2x+√2/2cos2x)+2
=√2sin(2x+π/4)+2
(1)由2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2.k∈Z
得kπ-3π/8≤x≤kπ+π/8.k∈Z
∴f(x)的递增区间为[kπ-3π/8,kπ+π/8].k∈Z
(2)
当2x+π/4=2kπ+π/2，即x=kπ+π/8.k∈Z时
f(x)取得最大值2+√2

（3）
由2x+π/4=kπ+π/2，
得f(x)的对称轴方程x=1/2kπ+π/8.k∈Z
由2x+π/4=kπ，得x=1/2kπ-π/8.
∴f(x0对称中心坐标为(1/2kπ-π/8.,0),k∈Z

Answer 2

y=sinx^2+2sinxcosx+3cosx^2
=(1-cos2x)/2+sin2x+3(1+cos2x)/2
=2+cos2x+sin2x=sqrt(2)sin(2x+π/4)+2
1
单调增区间：2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2，即：kπ-3π/8≤x≤kπ+π/8(k为整数)
单调减区间：2kπ+π/2≤2x+π/4≤2kπ+3π/2，即：kπ+π/8≤x≤kπ+5π/8(k为整数)
2
当2x+π/4=2kπ+π/2，即x=kπ+π/8(k为整数)时，函数取得最大值：2+sqrt(2)
3
对称轴：2x+π/4=kπ+π/2，即x=kπ/2+π/8(k为整数)
对称中心：2x+π/4=kπ，即x=kπ/2-π/8(k为整数)
所以对称中心：(kπ/2-π/8(k为整数),0)

Answer 3

y=sin²x+cos²x+2sinxcosx+2cos²x
=1+sin2x+cos2x+1
=sin2x+cos2x+2
=√2sin(2x+π/4)+2
（1）递增区间：
-π/2+2kπ<2x+π/4<π/2+2kπ
-3π/4+2kπ<2x<π/4+2kπ
-3π/8+kπ<x<π/8+kπ
所以，递增区间为（-3π/8+kπ，π/8+kπ），k∈Z

（2）当2x+π/4=π/2+2kπ，即：x=π/8+kπ，k∈Z时，
sin(2x+π/4)=1，此时该函数有最大值，为2+√2

（3）对称轴：2x+π/4=π/2+kπ
得对称轴为：x=π/8+kπ/2，k∈Z
对称中心：2x+π/4=+kπ
得对称中心为：（-π/8+kπ/2，0）k∈Z

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 4

y=sin^2x+2sinxcosx+3cos^2x
=1/2(1-cos2x)+sin2x+3/2(1+cos2x)
=sin2x+cos2x+2
=√2(√2/2sin2x+√2/2cos2x)+2
=√2sin(2x+π/4)+2
(1)由2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2.k∈Z
得kπ-3π/8≤x≤kπ+π/8.k∈Z
∴f(x)的递增区间为[kπ-3π/8,kπ+π/8].k∈Z
(2)
当2x+π/4=2kπ+π/2，即x=kπ+π/8.k∈Z时

（3）
由2x+π/4=kπ+π/2，
得f(x)的对称轴方程x=1/2kπ+π/8.k∈Z
由2x+π/4=kπ，得x=1/2kπ-π/8.
∴f(x0对称中心坐标为(1/2kπ-π/8.,0),k∈Z …………………………zz求采纳