Question

已知中心在坐标原点O的椭圆C讲过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点 (1)求椭圆C的方程(2)是否存在直线l：y=…

（2）问是否存在直线l：y=3x/2+t，使直线l与椭圆C有公共点，且原点到直线l的距离为4?若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由

Answer 1

（1）设椭圆方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 ，则
a^2-b^2=4 ，----------①
4/a^2+9/b^2=1 ，----------②
由以上两式可解得 a^2=16，b^2=12 ，
因此椭圆的方程为 x^2/16+y^2/12=1 。
（2）当原点到直线 y=3x/2+t 的距离为 4 时，有 |t|/√(1+9/4)=4 ，
解得 t=±2√13 ，
两方程联立消去 y 得 x^2/16+(3x/2±2√13)^2/12=1 ，
化简得 12x^2±24√3*x+160=0 ，
判别式=1728-7680<0 ，直线与椭圆无公共点，
所以，满足条件的直线不存在 。