Question

已知函数f(x)=x/(1+x^2) 1 判断其奇偶性 2 判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并给出证明

3 利用1和2的结论，指出函数在（-1,0）上的单调性

Answer 1

第一个问题：
∵f（x）＝x/（1＋x^2），∴f（－x）＝－x/［1＋（－x）^2］＝－x/（1＋x^2），
∴f（x）＝－f（－x），∴f（x）是奇函数。

第二个问题：
∵f（x）＝x/（1＋x^2），
∴f′（x）
＝［x′（1＋x^2）－x（1＋x^2）′］/（1＋x^2）^2＝（1＋x^2－2x^2）/（1＋x^2）^2
＝（1－x^2）/（1＋x^2）^2。
∴在区间（1，＋∞）上，f′（x）＜0，∴f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数。

第三个问题：
∵f′（x）＝（1－x^2）/（1＋x^2）^2，∴在区间（－1，0）上，f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（－1，0）上是增函数。