Question

如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A

如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）该抛物线G的解析式为____
（2）将直线L沿y轴向下平移___个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；
（3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点F坐标．
（4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q的坐标．

图：http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/a89a641a-112f-4814-9f06-10c183da402b

要过程

Answer 1

1）对称轴为x=2，设抛物线的方程为y=k(x-2)^2+n
直线L与x轴和y轴的交点为B(3,0)C(0,3)，将这2个点对应的x,y值代入抛物线方程，得出k和n
k=1,n=-1
抛物线方程为y=1(x-2)^2-1=x^2-4x+3

2）设向下平移m个单位，此时的直线方程为L1:y=-x+3-m
用抛物线G方程的解析式-L1的解析式
得到新的方程
y=x^2-4x+3-(-x+3-m)
y=x^2-3x+m
（这个方程的y值表示的是对应x值时抛物线和直线的垂直距离）
当y=0时，抛物线与直线L1相交。
当只有一个公共点时，y=0有唯一一组解。
解的个数通过△来确定，当△=0时，该方程有唯一解。
==>
3^2-4*1*m=0
m=9/4
3）
因为E在抛物线的对称轴上，则EA=EB，且对称轴是平行四边形的一条对角线。
该平行四边形为菱形，且F点必须也在对称轴上，而同时F点在抛物线上，则F点与P点重叠。
将x=2代入抛物线的解析式，算得P点坐标为(2,-1)，即F点坐标为(2,-1)，E点与F点关于x轴对称，其坐标为(2,1)。能构成三角形的Q点有两种情况，①Q在B点的左边，②Q在B点的右边
显然，∠ABC=45°，∠PBA=45°

第二类BQ∽BC，BP∽BA

利用相似三角形对应边的比值相等，得出两个Q值。
分别为(7/3,0)(0,0

Answer 2

1）对称轴为x=2，设抛物线的方程为y=k(x-2)^2+n
直线L与x轴和y轴的交点为B(3,0)C(0,3)，将这2个点对应的x,y值代入抛物线方程，得出k和n
k=1,n=-1
抛物线方程为y=1(x-2)^2-1=x^2-4x+3

2）设向下平移m个单位，此时的直线方程为L1:y=-x+3-m
用抛物线G方程的解析式-L1的解析式
得到新的方程
y=x^2-4x+3-(-x+3-m)
y=x^2-3x+m
（这个方程的y值表示的是对应x值时抛物线和直线的垂直距离）
当y=0时，抛物线与直线L1相交。
当只有一个公共点时，y=0有唯一一组解。
解的个数通过△来确定，当△=0时，该方程有唯一解。
==>
3^2-4*1*m=0
m=9/4

3）
因为E在抛物线的对称轴上，则EA=EB，且对称轴是平行四边形的一条对角线。
该平行四边形为菱形，且F点必须也在对称轴上，而同时F点在抛物线上，则F点与P点重叠。
将x=2代入抛物线的解析式，算得P点坐标为(2,-1)，即F点坐标为(2,-1)，E点与F点关于x轴对称，其坐标为(2,1)。

4）
能构成三角形的Q点有两种情况，①Q在B点的左边，②Q在B点的右边
显然，∠ABC=45°，∠PBA=45°

相似三角形的三个角对应相等。
若为第②种情况，△BPQ不能做出任何一个角等于45°（因为∠PBA=45°是∠QBP的补角，意味着∠QBP=135°，而其余两个锐角和为45°，所以任意单独的一个角都不能为45°），所以排除

对于第①种情况，又有2类相似
第一类BQ∽BA，BP∽BC
第二类BQ∽BC，BP∽BA

利用相似三角形对应边的比值相等，得出两个Q值。
分别为(7/3,0)(0,0)

希望能帮助到你。
不懂的欢迎追问

Answer 3

显然，∠ABC=45°，∠PBA=45°

相似三角形的三个角对应相等。
若为第②种情况，△BPQ不能做出任何一个角等于45°（因为∠PBA=45°是∠QBP的补角，意味着∠QBP=135°，而其余两个锐角和为45°，所以任意单独的一个角都不能为45°），所以排除

对于第①种情况，又有2类相似
第一类BQ∽BA，BP∽BC
第二类BQ∽BC，BP∽BA

利用相似三角形对应边的比值相等，得出两个Q值。
分别为(7/3,0)(0,0)

希望能帮助到你。
不懂的欢迎追问

Answer 4

1）对称轴为x=2，设抛物线的方程为y=k(x-2)^2+n
直线L与x轴和y轴的交点为B(3,0)C(0,3)，将这2个点对应的x,y值代入抛物线方程，得出k和n
k=1,n=-1
抛物线方程为y=1(x-2)^2-1=x^2-4x+3

2）设向下平移m个单位，此时的直线方程为L1:y=-x+3-m
用抛物线G方程的解析式-L1的解析式
得到新的方程
y=x^2-4x+3-(-x+3-m)
y=x^2-3x+m
（这个方程的y值表示的是对应x值时抛物线和直线的垂直距离）
当y=0时，抛物线与直线L1相交。
当只有一个公共点时，y=0有唯一一组解。
解的个数通过△来确定，当△=0时，该方程有唯一解。
==>
3^2-4*1*m=0
m=9/4

3）
因为E在抛物线的对称轴上，则EA=EB，且对称轴是平行四边形的一条对角线。
该平行四边形为菱形，且F点必须也在对称轴上，而同时F点在抛物线上，则F点与P点重叠。
将x=2代入抛物线的解析式，算得P点坐标为(2,-1)，即F点坐标为(2,-1)，E点与F点关于x轴对称，其坐标为(2,1)。能构成三角形的Q点有两种情况，①Q在B点的左边，②Q在B点的右边
显然，∠ABC=45°，∠PBA=45°

第二类BQ∽BC，BP∽BA

利用相似三角形对应边的比值相等，得出两个Q值。
分别为(7/3,0)(0,0

Answer 5

解：（1）当x=0时，y=3，当y=0时，-x+3=0，解得x=3，∴点B、C的坐标为B（3，0），C（0，3），又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，根据抛物线的对称性，∴点A的坐标为（1，0），∴

a+b+c＝0
9a+3b+c＝0
c＝3

，解得

a＝1
b＝−4
c＝3

，∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；（2）设平移后的直线解析式为y=-x+b，则

y＝−x+b
y＝x2−4x+3

，∴x2-3x+3-b=0，∵它与抛物线G只有一个公共点，∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（3-b）=9-12+4b=0，解得b=
3
4
，3-
3
4
=
9
4
，∴向下平移了
9
4
个单位；（3）∵A（1，0），B（3，0），∴AB=3-1=2，①当AB是边时，∵点E在对称轴上，平行四边形的对边平行且相等，∴EF=AB=2，∴点F的横坐标为0或4，当横坐标为0时，y=02-4×0+3=3，当横坐标为4时，y=42-4×4+3=3，∴点F的坐标为F1（0，3）或F2（4，3），此时点E的坐标为E1（2，3），此时AE=
12+32
=
10
，∴平行四边形的周长为：2（AB+AE）=2（2+
10
）=4+2
10
；②当AB边为对角线时，EF与AB互相垂直平分，∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，∴此时点E、F的坐标为E2（2，1），F3（2，-1），∴AE=
12+12
=
2
，AF=
12+12
=
2
，∴平行四边形的周长为：2（AE+AF）=2（
2
+
2
）=4
2
，综上所述，点E、F的坐标分别为E1（2，3），F1（0，3）或F2（4，3），此时平行四边形的周长为4+2
10
，或E2（2，1），F3（2，-1），此时平行四边形的周长为4
2
；（4）连接PB，由y=x2-4x+3=（x-2）2-1，得P（2，-1），设抛物线的对称轴交x轴于点M，∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，∴∠PBM=45°，PB=
2
．由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，由勾股定理，得BC=3
2
．假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．①PB与AB是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，∴
BQ
BC
=
PB
AB
，即
BQ
3
2

=

2

2
，解得BQ=3，又∵BO=3，∴点Q与点O重合，∴Q1的坐标是（0，0），②PB与BC是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，∴
QB
AB
=
PB
BC
，即
QB
2
=

2

3
2

，解得QB=
2
3
，∵OB=3，∴OQ=OB-QB=3-
2
3
=
7
3
，∴Q2的坐标是（
7
3
，0），③∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，∴∠PBx≠∠BAC．∴点Q不可能在B点右侧的x轴上综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（
7
3
，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．